Uniformni polieder

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Uniformni polieder je polieder, ki ima za stranske ploskve pravilne mnogokotnike, ki so tranzitivni na svojih ogliščih (to pomeni, da obstoja togi premik (izometrija) za preslikavo poljubnega oglišča v drugega). To pomeni tudi, da so vsa oglišča skladna. Poliedri imajo visoko stopnjo zrcalne in rotacijske simetrije.

Uniformni poliedri so lahko

  • pravilni, če so stranske ploskve in robovi tranzitivni
  • kvazipravilni, če so robovi tranzitivni, niso pa tranzitivne stranske ploskve
  • polpravilni pa so, če robovi niso tranzitivni, niti stranske ploskve niso tranzitivne.

Poznamo konveksne

in zvezdne poliedre od katerih so

Znanih je tudi neskončno število uniformnih prizmatičnih in antiprizmatičnih oblik med katerimi so konveksne in zvezdne oblike.

Dualni poliedri uniformnih poliedrov imajo tranzitivne stranske ploskve ali lahko rečemo tudi, da so izoederski. Imajo tudi pravilne slike oglišč ter jih tako razvrstimo skupaj z dualnimi uniformnimi poliedri. Dualno telo pravilnega poliedra je tudi pravilen. Dualna telesa arhimedskih teles pa pravimo, da so Catalanova telesa.

Razvoj[uredi | uredi kodo]

Platonska telesa so poznali že v Antični Grčiji. Proučevali so jih že Platon (427 pr. n. št-437 pr. n. št., Teetet (417 pr. n. št.-369 pr. n. št.) in Evklid (okoli 365 pr. n. št.-275 pr. n. št.).

Pravilni zvezdni poliedri:

Pozneje (v letu 1809) je Louis Poinsot (1777-1859) odkril še dva.

Ostalih 53 nepravilnih zvezdnih poliedrov

  • Od ostalih 53 jih je v letu 1881 Albert Badoureau odkril še 36, Edmund Hess (1843-1903) je odkril še dva in Pitch (1930-1932) jih je neodvisno v letu 1881 odkril še 18, vendar odkritja ni objavil, od teh jih je bilo 15 že prej odkritih.
  • Geometer H.S.M. Coxeter (1907-2003) je odkril še preostalih dvanajst v sodelovanju z J. C. P. Millerjem (1930-1932), kar pa ni bilo objavljeno. M. S. in H. C. Lonquet-Higgins sta jih neodvisno odkrila še 11.
  • Coxeter, Lonquet-Higgins in Miller so v letu 1954 objavili seznam uniformnih poliedrov
  • Sopov je dokazal. Da je njihov seznam popoln.
  • Leta 1970 je v knjigi Polyhedron models (Modeli poliedrov), ki prikazuje vseh 75 neprizmatičnih uniformnih poliedrov, od katerih jih mnogo prej še ni bilo objavljenih. Imena pa jim je dal Norman Johnson (rojen 1930).
  • Skilling (1921-1998) [1] je v letu 1975 preveril to trditev in pokazal, da takrat, ko sprostimo definicijo toliko, da omogočimo tudi hkratnost robov in s tem dobimo še eno možnost za telo.
  • V letu 1993 je Zvi Har'El pripravil popolno kalejdoskopsko konstrukcijo za uniformne poliedre in njihove duale s pomočjo računalniškega programa, ki se je imenoval Kaleido. Vse je združil v dokumentu Uniform Solution for Uniform Polyhedra, kjer je oštevilčil oblike s številkami od 1 do 80.
  • Prav tako je v letu 1993 R.Mäder prenesel to Kaleido rešitev v program Mathematica z drugačnim načinom številčenja.
  • V letu 2002 je Peter W. Messer odkril najmanjšo množico zaprtih oblik izrazov, ki določajo glavne in metrične količine za vsak uniformni polieder, dane s samo Wythoffovim simbolom [2].

Uniformni zvezdni poliedri[uredi | uredi kodo]

57 neprizmatičnih nekonveksnih oblik dobimo s pomočjo Wythoffove konstrukcije in s pomočjo Schwarzevih trikotnikov

Konveksne oblike po Wythoffovi konstrukciji[uredi | uredi kodo]

Konveksne uniformne poliedre lahko imenujemo po operacijah Wythoffove konstrukcije.

Podrobnejši načini Wythoffove konstrukcije so podani spodaj za vsako simetrijsko grupo posebej.

Z Wythoffovo konstrukcijo se dobijo ponovitve, ki nastanejo zaradi oblike z najnižjo simetrijo. Kocka in kvadratna prizma sta pravilna poliedra. Oktaeder in tristrana antiprizma sta tudi pravilna poliedra. Oktaeder je rektificiran tetraeder. Mnogi poliedri so ponovitve začetnih različnih konstrukcij in jih različno obarvamo.

Wythoffova konstrukcija se lahko uporabi za uniformne poliedre in uniformno tlakovanje na sferi. Zaradi tega so prikazane slike obeh možnosti. Sferno tlakovanje vključuje hozoedre in diedre, ki pa so degenerirani poliedri.

Te simetrijske grupe nastajajo iz zrcalnih točkovnih grup v treh razsežnostih. Vsako lahko prikažemo z osnovnim trikotnikom (p q r), kjer je p>1, q>1, r>1 in 1/p+1/q+1/r<1.

Ostale nezrcalne oblike se lahko konstruira s pomočjo operacije alternacije, ki jo uporabimo za poliedre s parnim številom stranic.

Razen vseh prizem z diedersko simetrijo nam lahko postopek Wythoffove konstrukcije doda še dva pravilna razreda, ki pa postaneta izrojena kot poliedra. To sta dieder in hozoeder. Prvi ima samo dve stranski ploskvi, drugo pa samo dve oglišči. Prisekanje hozoedra nam da prizmo.

V spodnjem pregledu imajo uniformni poliedri oznake (indekse) od 1 do 18 za neprizmatične oblike, ker so predstavljeni v pregledih s simetrijsko obliko. Ponovljene oblike so v oklepajih.

Neskončna množica prizmatičnih oblik je označena s štirimi družinami:

  1. hozoedri H2... samo kot sferno tlakovanje
  2. diedri D2... samo kot sferno tlakovanje
  3. prizme P2...
  4. antiprizme A3...

Skupna preglednica[uredi | uredi kodo]

Johnsonovo ime Starševsko telo Prisekano Rektificirano Biprisekano Birektificirano Kantelirano Omniprisekano
(kantiprisekano

)

Prirezano
Razširjen
Schläflijev simbol
\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix} t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix} r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}
t0{p,q} t0,1{p,q} t1{p,q} t1,2{p,q} t2{p,q} t0,2{p,q} t0,1,2{p,q} s{p,q}
Wythoffov simbol
p-q-2
q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2
Coxeter-Dynkinov diagram CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png
Slika oglišča pq (q.2p.2p) (p.q.p.q) (p. 2q.2q) qp (p. 4.q.4) (4.2p.2q) (3.3.p. 3.q)
tetraedrska
3-3-2
Uniform polyhedron-33-t0.png
{3,3}
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
Uniform polyhedron-33-t1.png
(3.3.3.3)
Uniform polyhedron-33-t12.png
(3.6.6)
Uniform polyhedron-33-t2.png
{3,3}
Uniform polyhedron-33-t02.png
(3.4.3.4)
Uniform polyhedron-33-t012.png
(4.6.6)
Uniform polyhedron-33-s012.svg
(3.3.3.3.3)
oktaedrska
4-3-2
Uniform polyhedron-43-t0.svg
{4,3}
Uniform polyhedron-43-t01.svg
(3.8.8)
Uniform polyhedron-43-t1.svg
(3.4.3.4)
Uniform polyhedron-43-t12.svg
(4.6.6)
Uniform polyhedron-43-t2.svg
{3,4}
Uniform polyhedron-43-t02.png
(3.4.4.4)
Uniform polyhedron-43-t012.png
(4.6.8)
Uniform polyhedron-43-s012.png
(3.3.3.3.4)
ikozaedrska
5-3-2
Uniform polyhedron-53-t0.png
{5,3}
Uniform polyhedron-53-t01.png
(3.10.10)
Uniform polyhedron-53-t1.png
(3.5.3.5)
Uniform polyhedron-53-t12.png
(5.6.6)
Uniform polyhedron-53-t2.png
{3,5}
Uniform polyhedron-53-t02.png
(3.4.5.4)
Uniform polyhedron-53-t012.png
(4.6.10)
Uniform polyhedron-53-s012.png
(3.3.3.3.5)


in primeri diedrskih simetrij:

(p 2 2) Starševsko telo Prisekano Rektificirano Biprisekano Birektificirano Kantelirano Omniprisekano
(kantiprisekano)
Prirezano
Razširjen
Schläflijev simbol
\begin{Bmatrix} p , 2 \end{Bmatrix} t\begin{Bmatrix} p , 2 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} p \\ 2 \end{Bmatrix} t\begin{Bmatrix} 2 , p \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} 2 , p \end{Bmatrix} r\begin{Bmatrix} p \\ 2 \end{Bmatrix} t\begin{Bmatrix} p \\ 2 \end{Bmatrix} s\begin{Bmatrix} p \\ 2 \end{Bmatrix}
t0{p,2} t0,1{p,2} t1{p,2} t1,2{p,2} t2{p,2} t0,2{p,2} t0,1,2{p,2} s{p,2}
Wythoffov simbol 2 | p 2 2 2 | p 2 | p 2 2 p | 2 p | 2 2 p 2 | 2 p 2 2 | | p 2 2
Coxeter-Dynkinov diagram CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
Slika oglišča p2 (2.2p.2p) (p. 2.p. 2) (p. 4.4) 2p (p. 4.2.4) (4.2p.4) (3.3.p. 3.2)
diederska
(2 2 2)
Digonal dihedron.png
{2,2}
2.4.4 Digonal dihedron.png
2.2.2.2

4.4.2
Digonal dihedron.png
{2,2}
2.4.2.4 Tetragonal prism.png
4.4.4
Linear antiprism.png
3.3.3.2
diederska
(3 2 2)
Trigonal dihedron.png
{3,2}
Hexagonal dihedron.png
2.6.6
2.3.2.3 Triangular prism.png
4.4.3
Trigonal hosohedron.png
{2,3}
2.4.3.4 Spherical truncated trigonal prism.png
4.4.6
Trigonal antiprism.png
3.3.3.3
diederska
(4 2 2)
{4,2} 2.8.8 2.4.2.4 Tetragonal prism.png
4.4.4
4hosohedron.svg
{2,4}
2.4.4.4 Octagonal prism.png
4.4.8
Square antiprism.png
3.3.3.4
diederska
(5 2 2)
{5,2} 2.10.10 2.5.2.5 Pentagonal prism.png
4.4.5
{2,5} 2.4.5.4 Decagonal prism.png
4.4.10
Pentagonal antiprism.png
3.3.3.5
diederska
(6 2 2)
Hexagonal dihedron.png
{6,2}
Dodecagonal dihedron.png
2.12.12
Hexagonal dihedron.png
2.6.2.6
Spherical hexagonal prism.png
4.4.6
Hexagonal hosohedron.png
{2,6}
Spherical truncated trigonal prism.png
2.4.6.4
Spherical truncated hexagonal prism.png
4.4.12
Spherical hexagonal antiprism.png
3.3.3.6

Operatorji za Wythoffovo konstrukcijo[uredi | uredi kodo]

Wythoffian construction diagram sl.png Polyhedron truncation example3 sl.png
Zgledi za oblike od kocke do oktaedra
Operacija Razširjeni
Schläflijevi simboli
Coxeter-
Dynkinov
diagram
Opis
Starševsko telo t0{p,q} \begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png za poljubni pravilni polieder ali tlakovanje
Rektifikacija t1{p,q} \begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png Robovi so popolnima prirezani v točke. Poliedri imajo kombinirane stranske ploskve svojega starševskega telesa in njegovega duala.
Birektifikacija
tudi dual
t2{p,q} \begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix} CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
Dual Cube-Octahedron.svg
Birektificiranost (tudi za dual) je nadaljevanje prisekanja tako, da so prvotne stranske ploskve zmanjšane do točk. Nove stranske ploskve nastanejo pod vsakim starševskim ogliščem. Število robov ostane nespremenjeno in se zavrti za 90º. Dualno telo pravilnega poliedra {p, q} je tudi pravilni polieder {q, p}.
Prisekanost t0,1{p,q} t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png Vsako prvotno oglišče je odrezano, z nastankom nove stranske ploskve se izpopolni praznina. Prisekanje ima prostostno stopnjo, ki ima rešitev za kreiranje uniformnega prisekanega poliedra. Polieder ima svoje prvotne stranske ploskve podvojene ter vsebuje stranske ploskve duala.
Cube truncation sequencexx.svg
Biprisekanost t1,2{p,q} t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png isto kot prisekan dual.
Kanteliranost
(ali rombiranost)
(tudi razširjenost)
t0,2{p,q} r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png Razen prisekanja oglišč je vsak prvotni rob nagnjen zaradi novega pravokotne stranske ploskve, ki se pojavi namesto njega. Uniformna kantelacija je približno na polovici med starševsko in dualno obliko.
Cube cantellation sequence sl.svg
Omniprisekanost
(ali kantiprisekanost)
t0,1,2{p,q} t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png Prisekanost in kantelacija sta uporabljeni skupaj, da bi ustvarili omniprisekano obliko, ki podvoji stranice stranskih ploskev starševskega telesa in podvoji stranice stranskih ploskev ter kvadratov, kjer so bili prvotni robovi.
Prirezanost s{p,q} s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png Prirezane oblike zavzamejo omniprisekanost in pri tem rektificirajo vsako drugo oglišče. (ta operacije je možna samo, če ima polieder parno število stranskih ploskev) Vse prvotne stranske ploskve končajo tako, da dobimo samo polovico stranic, kvadrati pa se izrodijo v robove. Ker ima omniprisekana oblika 3 stranske ploskve/oglišče nastanejo novi trikotniki. Pogosto je to izmenično facetiranje popačeno, tako, da se konča kot uniformni poliedri. Možnost kasnejših sprememb je odvisna od stopnje prostosti.
Snubcubes in grCO sl.svg


(3 3 2) Td tetraederska simetrija[uredi | uredi kodo]

Tetraederska simetrija sfere generira 5 uniformnih poliedrov in šesto obliko s pomočjo operacije prirezovanja.

Tetraedersko simetrijo lahko prikažemo s pomočjo osnovnega trikotnika z enim ogliščem s tremi zcali, ki jih prikažemo s simbolom (3 3 2). Lahko jih tudi prikažemo s Coxeterjevo grupo A2 or [3,3] in seveda s Coxeter-Dynkinovim diagramom: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Obstoja 24 trikotnikov, ki jih vidimo na stranskih ploskvah tetrakisnega heksaedra in izmenoma pobarvanih trikotnikih na sferi:

Tetrakishexahedron.jpg Tetrahedral reflection domains.pngSphere symmetry group td.png
# Ime Graf
A3
Graf
A2
Slika Tlakovanje Oglišč
slika
Coxeter-Dynkinov diagram
in Schläflijevi simboli
Število stranskih ploskev po položaju Število elementov
položaj 2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(4)
položaj 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(6)
položaj 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(4)
Stranske ploskve Robovi Oglišča
1 tetraeder (tet) 3-simplex t0.svg 3-simplex t0 A2.svg Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform tiling 332-t0-1-.png Tetrahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
4 6 4
[1] birektificiran tetraeder (tet)
(isto kot tetraeder)
3-simplex t0.svg 3-simplex t0 A2.svg Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform tiling 332-t2.png Tetrahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t2{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
4 6 4
2 rektificiran tetraeder (oct)
(isto kot oktaeder)
3-simplex t1.svg 3-simplex t1 A2.svg Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform tiling 332-t1-1-.png Octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svg
{3}
8 12 6
3 prisekan tetraeder (tut) 3-simplex t01.svg 3-simplex t01 A2.svg Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform tiling 332-t01-1-.png Truncated tetrahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{3,3}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 3.svg
{3}
8 18 12
[3] biprisekan tetraeder (tut)
(isto kot prisekan tetraeder)
3-simplex t01.svg 3-simplex t01 A2.svg Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform tiling 332-t12.png Truncated tetrahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t1,2{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 6.svg
{6}
8 18 12
4 kanteliran tetraeder (co)
(isto kot kubooktaeder)
3-simplex t02.svg 3-simplex t02 A2.svg Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform tiling 332-t02.png Cuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,2{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svg
{3}
14 24 12
5 omniprisekan tetraeder (toe)
(isto kot prisekan oktaeder)
3-simplex t012.svg 3-simplex t012 A2.svg Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform tiling 332-t012.png Truncated octahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{3,3}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
14 36 24
6 prirezan tetraeder (ike)
(isto kot ikozaeder)
Icosahedron graph A3.png Icosahedron graph A2.png Uniform polyhedron-33-s012.png Spherical snub tetrahedron.png Icosahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
s{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
Regular polygon 3.svg
{3}
20 30 12

(4 3 2) Oh oktaederska simetrija[uredi | uredi kodo]

Oktaederska simetrija sfere generira 7 uniformnih poliedrov in še tri z alternacijo. Štirje od teh oblik so ponovitve tetraederske simetrije iz preglednice zgoraj.

Oktaedersko simetrijo lahko prikažemo s pomočjo osnovnega trikotnika (4 3 2) tako, da upoštevamo zrcala na vsakem oglišču. Lahko jih prikažemo tudi kot Coxeterjevo grupo B2 ali [4,3] in kot Coxeter-Dynkinov diagram: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Obstoja 48 trokotnikv, ki jih vidimo na stranskih ploskvah disdiakisnega dodekaedra in izmenoma pobarvanih trikotnikov na sferi:

Disdyakisdodecahedron.jpg Octahedral reflection domains.pngSphere symmetry group oh.png
# Ime Graf
B3
Graf
B2
Slika Tlakovanje Slika
oglišč
Coxeter-Dynkinov diagram
in Schläflijevi simboli
Število stranskih ploskev po položaju Število elementov
položaj 2
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.png
[4]
(8)
položaj 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(12)
položaj 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(6)
Stranske ploskve Robovi Oglišča
7 kocka (kocka) 3-cube t0.svg 3-cube t0 B2.svg Uniform polyhedron-43-t0.png Uniform tiling 432-t0.png Cube vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{4,3}
Regular polygon 4.svg
{4}
6 12 8
[2] oktaeder (oct) 3-cube t2.svg 3-cube t2 B2.svg Uniform polyhedron-43-t2.png Uniform tiling 432-t2.png Octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{3,4}
Regular polygon 3.svg
{3}
8 12 6
[4] rektificirana kocka (co)
rektificiran oktaeder
(kubooktaeder)
3-cube t1.svg 3-cube t1 B2.svg Uniform polyhedron-43-t1.png Uniform tiling 432-t1.png Cuboctahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
{4,3}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svg
{3}
14 24 12
8 prisekana kocka (tic) 3-cube t01.svg 3-cube t01 B2.svg Uniform polyhedron-43-t01.png Uniform tiling 432-t01.png Truncated cube vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{4,3}
Regular polygon 8.svg
{8}
Regular polygon 3.svg
{3}
14 36 24
[5] prisekan oktaeder (toe) 3-cube t12.svg 3-cube t12 B2.svg Uniform polyhedron-43-t12.png Uniform tiling 432-t12.png Truncated octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1{3,4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
14 36 24
9 kantelirana kocka (sirco)
kanteliran oktaeder
rombikubooktaeder
3-cube t02.svg 3-cube t02 B2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform tiling 432-t02.png Small rhombicuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,2{4,3}
Regular polygon 8.svg
{8}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
26 48 24
10 omniprisekana kocka (girco)
omniprisekan oktaeder
prisekan kubooktaeder
3-cube t012.svg 3-cube t012 B2.svg Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform tiling 432-t012.png Great rhombicuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{4,3}
Regular polygon 8.svg
{8}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
26 72 48
[6] alterniran prisekan oktaeder (ike)
(isto kot ikozaeder)
3-cube h01.svg 3-cube h01 B2.svg Uniform polyhedron-43-h01.png Spherical alternated truncated octahedron.png Icosahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
h0,1{3,4}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svg
{3}
20 30 12
[1] alternirana kocka (tet)
(isto kot tetraeder)
3-simplex t0 A2.svg 3-simplex t0.svg Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform tiling 332-t2.png Tetrahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
h{4,3}
Regular polygon 3.svg
1/2 {3}
4 6 4
11 prirezana kocka (snic) Snub cube A2.png Snub cube B2.png Uniform polyhedron-43-s012.png Spherical snub cube.png Snub cube vertfig.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
s{4,3}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
Regular polygon 3.svg
{3}
38 60 24

(5 3 2) Ih ikozaederska simetrija[uredi | uredi kodo]

Ikozaederska simetrija sfere generira 7 uniformnih poliedrov in še enega več z alternacijo. Samo eden se ponavlja v preglednici z tetraedersko in oktaedersko simetrijo v preglednici zgoraj.

Ikozaedersko simetrijo lahko prikažemo z osnovnim trikotnikom (5 3 2), pri tem pa štejemo zrcala na vsakem oglišču. Lahko ga prikažemo tudi s pomočjo Coxeterjeve grupe G2 ali [5,3] s pomočjo Coxeter-Dynkinovega diagrama: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Obstoja 120 trikotnikov, ki jih vidimo na stranskih ploskvah disdiakisni triakontaeder in na izmenoma pobarvanih trikotnikih na sferi:

Disdyakistriacontahedron.jpg Icosahedral reflection domains.pngSphere symmetry group ih.png
# Ime Graf
(A2)
[6]
Graf
(H3)
[10]
Slika tlakovanje slika
oglišč
Coxeter-Dynkinov diagram
in Schläflijevi simboli
Število stranskih ploskev po položaju Število elementov
položaj 2
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.png
[5]
(12)
položaj 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(30)
položaj 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(20)
Stranske ploskve Robovi Oglišča
12 dodekaeder (doe) Dodecahedron t0 A2.png Dodecahedron t0 H3.png Uniform polyhedron-53-t0.png Uniform tiling 532-t0.png Dodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
12 30 20
[6] ikozaeder (ike) Icosahedron t0 A2.png Icosahedron t0 H3.png Uniform polyhedron-53-t2.png Uniform tiling 532-t2.png Icosahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{3,5}
Regular polygon 3.svg
{3}
20 30 12
13 rektificirani dodekaeder (id)
rektificirani ikozaeder
ikozidodekaeder
Dodecahedron t1 A2.png Dodecahedron t1 H3.png Uniform polyhedron-53-t1.png Uniform tiling 532-t1.png Icosidodecahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 3.svg
{3}
32 60 30
14 prisekan dodekaeder (tid) Dodecahedron t01 A2.png Dodecahedron t01 H3.png Uniform polyhedron-53-t01.png Uniform tiling 532-t01.png Truncated dodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{5,3}
Regular polygon 5.svg
{10}
Regular polygon 3.svg
{3}
32 90 60
15 prisekan ikozaeder (ti) Icosahedron t01 A2.png Icosahedron t01 H3.png Uniform polyhedron-53-t12.png Uniform tiling 532-t12.png Truncated icosahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1{3,5}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 6.svg
{6}
32 90 60
16 kantelirani dodekaeder (srid)
kanteliran ikozaeder
rombiikozidodekaeder
Dodecahedron t02 A2.png Dodecahedron t02 H3.png Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform tiling 532-t02.png Small rhombicosidodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,2{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svg
{3}
62 120 60
17 Omniprisekan dodekaeder (grid)
Omniprisekan ikozaeder
prisekan ikozidodekaeder
Dodecahedron t012 A2.png Dodecahedron t012 H3.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform tiling 532-t012.png Great rhombicosidodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{5,3}
Regular polygon 10.svg
{10}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
62 180 120
18 prirezan dodekaeder (snid)
prirezan ikozaeder
Snub dodecahedron A2.png Snub dodecahedron H2.png Uniform polyhedron-53-s012.png Spherical snub dodecahedron.png Snub dodecahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
s{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
Regular polygon 3.svg
{3}
92 150 60

(p 2 2) Prizmatična družina [p,2], I2(p) (Dph diederska simetrija)[uredi | uredi kodo]

Diederska simetrija sfere generira dve neskončni množici uniformnih poliedrov, prizem in antiprizem, prav tako pa tudi neskončno množico izrojenih mnogokotnikov, hozoedrov in diedrov, ki obstojajo kot tlakovanja sfere. Diederska simetrija se lahko prikaže kot onovni trikotnik (p 2 2) s tem, da upoštevamo zrcala na vsakem oglišču. Lahko se prikaže tudi kot Coxeterjeva grupa I2(p) or [n,2], in tudi kot prizmatični Coxeter-Dynkinov diagram: CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png.

Spodaj je prvih pet diederskih simetrij: D2 ... D6. Diederska simetrija Dp ima red 4n, ki se kaže na stranskih ploskvah bipiramide in na sferi kot ekvatorska črta na longitudi in n enakomerno razmaknjenih črt longitude.

(2 2 2) diederska simetrija[uredi | uredi kodo]

Obstoja 8 osnovnih trikotnikov, ki se vidijo na stranskih ploskvah kvadratne bipiramide (oktaeder), ki ima imenoma obarvane trikotnike na sferi:

Octahedron.svg Sphere symmetry group d2h.png
# Ime Slika Tlakovanje Slika
oglišč
Coxeter-Dynkinov diagram
in Schläflijevi simboli
Število stranskih ploskev po položaju Število elementov
položaj 2
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.png
[2]
(2)
položaj 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(2)
položaj 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(2)
Stranske ploskve Robovi Oglišča
D2
H2
digonalni dieder
digonalni hozoeder
Digonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{2,2}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
2 2 2
D4 prisekan digonalni dieder
(isto kot kvadratni dieder)
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{2,2}={4,2}
Regular polygon 4.svg
{4}
2 4 4
P4
[7]
omniprisekan digonalni dieder (kocka)
(isto kot kocka)
Uniform polyhedron 222-t012.png Cube vertfig.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,2}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
6 12 8
A2
[1]
prirezan digonalni dieder (tet)
(isto kot tetraeder)
Uniform polyhedron-33-t2.png Tetrahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
s{2,2}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  4 6 4

(3 2 2) D3hdiederska simetrija[uredi | uredi kodo]

Hexagonale bipiramide.png Sphere symmetry group d3h.png

Obstoja 12 osnovnih trikotnikov, ki se vidijo na stranskih ploskvah šeststrane bipiramide ter izmenoma pobarvanih trikotnikih na sferi:

# Ime Slika Tlakovanje Slika
oglišč
Coxeter-Dynkinov diagram
in Schläflijevi simboli
Število stranskih ploskev po položaju Število elementov
položaj 2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.png
[3]
(2)
položaj 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(3)
položaj 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(3)
Stranske ploskve Robovi Oglišča
D3 trigonalni dieder Trigonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{3,2}
Regular polygon 3.svg
{3}
2 3 3
H3 trigonalni hozoeder Trigonal hosohedron.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,3}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
3 3 2
D6 prisekan trigonalni dieder
(isto kot heksagonalni dieder)
Hexagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{3,2}
Regular polygon 6.svg
{6}
2 6 6
P3 prisekan trigonalni hozoeder (trip)
(tristrana prizma)
Triangular prism.png Triangular prism vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 4.svg
{4}
5 9 6
P6 omniprisekan trigonalni dieder (hip)
(šeststrana prizma)
Hexagonal prism.png Hexagonal prism vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,3}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
8 18 12
A3
[2]
prirezan trigonalni dieder (oct)
(isto kot tristrana antiprizma)
(isto kot oktaeder)
Trigonal antiprism.png Octahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
s{2,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  8 12 6

(4 2 2) D4hdiederska simetrija[uredi | uredi kodo]

Octagonal bipyramid.png Obstoja 16 osnovnih trikotnikov, ki se vidijo na stranskih ploskvah osemstrane bipiramide ter izmenoma pobarvani trikotniki na sferi:

# Ime Slika Tlakovanje Slika
oglišč
Coxeter-Dynkinov diagram
in Schläflijevi simboli
Število stranskih ploskev po položajih Število elementov
položaj 2
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.png
[4]
(2)
položaj 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(4)
položaj 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(4)
Stranske ploskve Robovi Oglišča
D4 kvadratni dieder CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{4,2}
Regular polygon 4.svg
{4}
2 4 4
H4 kvadratni hozoeder CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,4}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
4 4 2
D8 prisekan kvadratni dieder
(isto kot oktagonalni dieder)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{4,2}
Regular polygon 8.svg
{8}
2 8 8
P4
[7]
prisekan kvadratni hozoeder (kocka)
(kocka)
Tetragonal prism.png Cube vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
6 12 8
D8 Omniprisekan kvadratni dieder (op)
(osemstrana prizma)
Octagonal prism.png Octagonal prism vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,4}
Regular polygon 8.svg
{8}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
10 24 16
A4 prirezan kvadratni diedr (squap)
(kvadratna antiprizma)
Square antiprism.png Square antiprism vertfig.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
t{2,4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  10 16 8

(5 2 2) D5h diederska simetrija[uredi | uredi kodo]

Obstoja 20 osnovnih trikotnikov, ki so vidni na stranskih ploskvah desetstrane bipiramide ter izmenoma obarvani trikotniki na sferi:

Decagonal bipyramid.png
# Ime Slika Tlakovanje Slika
oglišč
Coxeter-Dynkinov diagram
in Schläflijevi simboli
Število stranskih plokev po položaju Število elementov
položaj 2
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.png
[5]
(2)
položaj 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(5)
položaj 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(5)
Stranske ploskve Robovo Oglišča
D5 petstrani dieder CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{5,2}
Regular polygon 5.svg
{5}
2 5 5
H5 petstrani hozoeder CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,5}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
5 5 2
D10 prisekan petstrani dieder
(isto kot dvanajststrani dieder)
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{5,2}
Regular polygon 10.svg
{10}
2 10 10
P5 prisekan petstrani hozoeder (pip)
(isto kot petstrana prizma)
Pentagonal prism.png Pentagonal prism vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,5}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 4.svg
{4}
7 15 10
P10 Omniprisekan petkotni dieder (dip)
(dekagonalna prizma)
Decagonal prism.png Decagonal prism vf.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,5}
Regular polygon 10.svg
{10}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
12 30 20
A5 prirezan petkotni dieder (pap)
(petstrana antiprizma)
Pentagonal antiprism.png Pentagonal antiprism vertfig.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
t{2,5}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  12 20 10

(6 2 2) D6hdiederska simetrija[uredi | uredi kodo]

Obstoja 24 osnovnih trikotnikov , ki se vidijo na stranskih ploskvah dvanajststrane bipiramide in na izmenoma pobarvanimi trikotniki na sferi.

# Ime Slika Tlakovanje Slika
oglišč
Coxeter-Dynkinov diagram
in Schläflijevi simboli
Število stranskih ploskev po položaju Število elementov
položaj 2
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.png
[6]
(2)
položaj 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(6)
položaj 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(6)
Stranske ploskve Robovi Oglišča
D6 šeststrani dieder Hexagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{6,2}
Regular polygon 6.svg
{6}
2 6 6
H6 šeststrani hozoeder Hexagonal hosohedron.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,6}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
6 6 2
D12 prisekan šeststrani dieder
(isto kot dodekagonalni dieder)
Dodecagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{6,2}
Regular polygon 10.svg
{12}
2 12 12
H6 prisekan šestkotni hozoeder (hip)
(isto kot šeststrana prizma)
Hexagonal prism.png Spherical hexagonal prism.png Hexagonal prism vertfig.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,6}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 4.svg
{4}
8 18 12
P12 Omnipriseksn šeststrani dieder (twip)
(dvanajststrana prizma)
Dodecagonal prism.png Spherical truncated hexagonal prism.png Dodecagonal prism vf.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,6}
Regular polygon 10.svg
{12}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
14 36 24
A6 prirezan šeststrani dieder (hap)
(šeststrana antiprizma)
Hexagonal antiprism.png Spherical hexagonal antiprism.png Hexagonal antiprism vertfig.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
t{2,6}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  14 24 12

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]