Wythoffova konstrukcija

Wythoffova konstrukcija je način konstruiranja uniformnih poliedrov ali ravninskega tlakovanja. Pogosto se omenja kot Wythoffova kalejdoskopska konstrukcija.

Imenuje se po nizozemskem matematiku in teoretiku števil Willemu Abrahamu Wythoffu (1865 – 1939).

Postopek konstrukcije

Postopek konstrukcije je osnovan na ideji tlakovanja sfere s sfernimi trikotniki. V tem primeru zrcala vključujejo sferne trikotnike na površini vsake sfere v tej točki in ponavljajoči se odboji naredijo večkratne slike trikotnika. Če kote sfernega trikotnika izberemo približno, bodo trikotniki tlakovali sfero enkrat ali celo večkrat.

Če postavimo oglišče v primerno točko znotraj sfernega trikotnika, ki vključuje tudi zrcalo, lahko zagotovimo, da odboji te točke tvorijo polieder. V sfernem trikotniku ABC imamo štiri možnosti za kreiranje uniformnega poliedra:

1. oglišče postavimo v točko A. To kreira polieder z Wythoffovim simbolom a|b c, kjer je a enak π deljenem z velikostjo kota v A. Podobno velja za b in c.
2. oglišče postavimo v točko na črti AB tako, da ta deli kot v C. To kreira polieder s Wythoffovim simbolom a b|c.
3. oglišče postavimo tako, da je v središču včrtane krožnice trikotnika ABC. To kreira polieder z Wythoffovim simbolom a b c|
4. oglišče je v točki tako, da se pri vrtenju okoli kateregakoli oglišča za dvojni kot v tem oglišču, povzroči premik za isto razdaljo za vsak kot. Uporabljena so samo parna števila odbojev izvornega oglišča. Polieder ima Wythoffov simbol |a b c.

Zgledi

Šestkotno prizmo lahko konstruiramo s pomočjo družin (6 2 2) in (3 2 2).

Prisekano kvadratno tlakovanje konstruiramo z dvema različnima položajema v družini (4 4 2).

Newithoffove konstrukcije

Uniformni politopi, ki jih ne moremo konstruirati z Wythoffovo zrcalno konstrukcijo, imenujemo newithoffove. V splošnem jih dobimo iz Wythoffovih oblik s pomočjo alternacije, ali z vrinjanjem izmeničnih delnih oblik. Obe od teh oblik vsebujeta rotacijsko simetrijo.

Zgledi

Šestkotna antiprizma se lahko konstruira izmenično z dodekagonalnimi prizmami.

Podaljšano trikotno tlakovanje se konstruira s plastjo kvadratnega in trikotnega tlakovanja.

Veliki dirombiikozidodekaeder je edini newhithoffov uniformni polieder.

Glej tudi

• Wythoffov simbol

Zunanje povezave

• Wythoffova konstrukcija na Glossary for Hyperspace (v angleščini)
• Wythoffova konstrukcija na MathWorld (v angleščini)
• Wythoffova konstrukcija (v angleščini)
• Wythoffova konstrukcija (v angleščini)