Coxeterjeva grupa

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Coxeterjeva grupa je abstraktna grupa, ki omogoča opis grupe v okviru zrcalnih simetrij. Coxeterjeve grupe so končne evklidske zrcalne grupe. Kot zgled nam služijo simetrijske grupe pravilnih poliedrov. Coxeterjeve grupe so končne in ne morejo biti opisane s simetrijo in evklidskim zrcaljenjem.

Coxeterjeve grupe se veliko uporabljajo. Zgledi končnih Coxeterjevih grup vključujejo grupe simetrije pravilnih politopov in Weylovih grup enostavnih Liejevih algeber. Zgled neskončne Coxeterjeve grupe so tudi trikotniške grupe, ki odgovarjajo pravilni teselaciji evklidske in hiperbolične ravnine.

Grupe se imenujejo po angleško-kanadskem matematiku in geometru Haroldu Scottu MacDonaldu Coxeterju (1907–2003).

Definicija[uredi | uredi kodo]

Coxeterjevo grupo lahko definiramo kot grupo s predstavitvijo grupe kot

\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle

kjer je

  •  m_{ii} = 1
  •  m_{ij} \ge  2 za  i \ne j

Pogoj m_{i j}= \infty pomeni, da odnosa v obliki (r_i r_j)^m ne moremo prikazati.

Končne Coxeterjeve grupe[uredi | uredi kodo]

Coxeterjevi grafi končnih Coxeterjevih grup.

Razvrščanje[uredi | uredi kodo]

Končne Coxeterjeve grupe so razvrstili na osnovi Coxeter-Dinkinovih diagramov. Vse pa so predstavljene z zrcalnimi grupami končnorazsežnih evklidskih prostorov.

Končne Coxeterjeve grupe so sestavljene iz treh enoparameterskih družin z rastočim rangom A_n, \text { }BC_n, \text { }D_n,, eno enoparametersko družino z razsežnostjo dva (I_2(p) ) in šestimi posebnimi grupami E_6, \text { }E_7, \text { }E_8, \text { }F_4, \text { } H_3, in H_4 .

Weylove grupe[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Weylove grupe.

Mnoge, vendar ne vse, so Weylove grupe, vsaka Weylova grupa pa se lahko prikaže kot Coxeterjeva grupa. Weylove grupe sta družini A_n, BC_n, in D_n, ter

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Nekatere značilnosti končnih Coxeterjevih grup so podane v naslednji preglednici:

simbol
grupe
drugi
simbol
notacija z oklepaji rank red sorodni politopi Coxeter-Dinkinov diagram
An An [3n] n (n + 1)! n-simpleks CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png..CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
BCn Cn [4,3n-1] n 2n n! n-hiperkocka / n-ortopleks CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Dn Bn [3n-3,1,1] n 2n−1 n! n-polhiperkocka CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
E6 E6 [32,2,1] 6 72x6! = 51840 221, 122 CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
E7 E7 [33,2,1] 7 72x8! = 2903040 321, 231, 132 CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
E8 E8 [34,2,1] 8 192x10! = 696729600 421, 241, 142 CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
F4 F4 [3,4,3] 4 1152 24-celica CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
G2 - [6] 2 12 šestkotnik CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
H2 G2 [5] 2 10 petkotnik CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
H3 G3 [3,5] 3 120 ikozaeder / dodekaeder CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H4 G4 [3,3,5] 4 14400 120-celica / 600-celica CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
I2(p) D2p [p] 2 2p p-kotnik CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png

Simetrijske grupe pravilnih politopov[uredi | uredi kodo]

Vse simetrijske grupe pravilnih politopov so končne Coxeterjeve grupe.

Znane so tri skupine pravilnih politopov v vseh mogočih razsežnostih. Simetrijska grupa pravilnega n-simpleksa je simetrijska grupa Sn+1, ki je znana tudi kot Coxeterjeva grupa tipa An. Simetrijska grupa n-kocke in njene dualne oblike n-ortopleksa je BCn, ki pa je znana kot hiperoktaederska grupa.

Posebni pravilni politopi v dveh, treh in štirih razsežnostih odgovarjajo drugim Coxeterjevim grupam. V dveh razsežnostih diederske grupa, ki je grupa simetrije pravilnih mnogokotnikov, tvorijo skupino I2(p). V treh razsežnostih je simetrijska grupa pravilnih dodekaedrov in njihove dualne oblike ikozaedra je H3, ki je znana kot polna ikozaederska grupa. V štirih razsežnostih so znani trije posebni pravilni politopi. To so 24-celica, 120-celica in 600-celica.

Coxeterjeve grupe tipa Dn, E6, E7 in E8 so polpravilni politopi.


Pregled družin politopov
grupa An BCn Dn
E6 E7 E8 F4 G2
Hn In(p)
2 2-simplex t0.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png

(trikotnik)

2-cube.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png

kvadrat

  Regular polygon 6.svg
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png
šestkotnik
Regular polygon 5.svg
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
petkotnik
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.png
p-kotnik
3 3-simplex t0.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
tetraeder
3-cube t0.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
kocka
3-cube t2.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
oktaeder
3-demicube.svg
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.png
tetraeder
  Dodecahedron t0 H3.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
dodekaeder
Icosahedron t0 H3.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
ikozaeder
4 4-simplex t0.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5-celica
4-cube t0.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

teserakt

4-cube t3.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
16-celica
4-demicube t0 D4.svg
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

polteserakt

24-cell t0 F4.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
24-celica
120-cell graph H4.svg
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
120-celica
600-cell graph H4.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
600-celica
5 5-simplex t0.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5-simpleks
5-cube graph.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5-kocka
5-orthoplex.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
5-ortopleks
5-demicube.svg
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
5-polkocka
   
6 6-simplex t0.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
6-simpleks
6-cube graph.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
6-kocka
6-orthoplex.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
6-ortopleks
6-demicube.svg
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
6-polkocka
Up 1 22 t0 E6.svg
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
122
E6 graph.svg
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png
221
 
7 7-simplex t0.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
7-simpleks
7-cube graph.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
7-kocka
7-orthoplex.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
7-ortopleks
7-demicube.svg
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
7-polkocka
Gosset 1 32 petrie.svg
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
132
Gosset 2 31 polytope.svg
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png
231
E7 graph.svg
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
321
 
8 8-simplex t0.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
8-simpleks
8-cube.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
8-kocka
8-orthoplex.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
8-ortopleks
8-demicube.svg
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
8-polkocka
Gosset 1 42 polytope petrie.svg
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
142
2 41 polytope petrie.svg
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png
241
Gosset 4 21 polytope petrie.svg
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
421
 
9 9-simplex t0.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
9-simpleks
9-cube.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
9-kocka
9-orthoplex.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
9-ortopleks
9-demicube.svg
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
9-polkocka
 
10 10-simplex t0.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
10-simpleks
10-cube.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
10-kocka
10-orthoplex.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
10-ortopleks
10-demicube.svg
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
10-polkocka
 
družina
n
n-simpleks n-hiperkocka n-ortopleks n-polkocka 1k2 2k1 k21

Opomba:Oznake: An, Bn, Cn, Dn, Hn, E6, E7, E8, F4 in G2 so Koxeterjeva števila za posamezne Koxeterjeve grupe

Afine Coxeterjeve grupe[uredi | uredi kodo]

Afine Coxeterjeve grupe so druga pomembna skupina Coxeterjevih grup. To so tudi končne grupe, toda vsaka vsebuje normalno Abelovo podgrupo tako, da je faktorska grupa končna. Vsekakor pa je faktorska grupa Coxeterjeva grupa. Coxeterjev graf se dobi iz Coxeterjevega grafa Coxeterjeve grupe z dodajanjem novega vozlišča in dveh dodatnih povezav. V nadaljevanju so prikazane afine Coxeterjeve grupe.

simbol
grupe
Wittov
simbol
notacija z oklepaji sorodne uniformne teselacije Coxeter-Dinkinov diagram
{\tilde{A}}_n Pn+1 [3[n+1]] simplektično satovje
{\tilde{A}}_2:trikotniško tlakovanje
{\tilde{A}}_3:tetraedersko-oktaedersko satovje
CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.png...CDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
{\tilde{B}}_n Sn+1 [4,3n-2,31,1] polkockino satovje CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
{\tilde{C}}_n Rn+1 [4,3n-1,4] hiperkockino satovje CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
{\tilde{D}}_n Qn+1 [ 31,1,3n-3,31,1] polhiperkubično satovje CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
{\tilde{E}}_6 T7 [32,2,2] 222 CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
{\tilde{E}}_7 T8 [33,3,1] 331, 133 CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
{\tilde{E}}_8 T9 [35,2,1] 521, 251, 152 CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
{\tilde{F}}_4 U5 [3,4,3,3] 16-cell satovje
24-celično satovje
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{\tilde{G}}_2 V3 [6,3] heksagonalno tlakovanje in
trikotniško tlakovanje
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{\tilde{I}}_1 W2 [∞] apeirogon CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]