Coxeterjeva grupa

Coxeterjeva grupa je abstraktna grupa, ki omogoča opis grupe v okviru zrcalnih simetrij. Coxeterjeve grupe so končne evklidske zrcalne grupe. Kot zgled nam služijo simetrijske grupe pravilnih poliedrov. Coxeterjeve grupe so končne in ne morejo biti opisane s simetrijo in evklidskim zrcaljenjem.

Coxeterjeve grupe se veliko uporabljajo. Zgledi končnih Coxeterjevih grup vključujejo grupe simetrije pravilnih politopov in Weylovih grup enostavnih Liejevih algeber. Zgled neskončne Coxeterjeve grupe so tudi trikotniške grupe, ki odgovarjajo pravilni teselaciji evklidske in hiperbolične ravnine.

Grupe se imenujejo po angleško-kanadskem matematiku in geometru Haroldu Scottu MacDonaldu Coxeterju (1907–2003).

Definicija

Coxeterjevo grupo lahko definiramo kot grupo s predstavitvijo grupe kot

$\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle$

kjer je

• $m_{ii} = 1$
• $m_{ij} \ge 2$ za $i \ne j$

Pogoj $m_{i j}= \infty$ pomeni, da odnosa v obliki $(r_i r_j)^m$ ne moremo prikazati.

Končne Coxeterjeve grupe

Coxeterjevi grafi končnih Coxeterjevih grup.

Ravrščanje

Končne Coxeterjeve grupe so razvrstili na osnovi Coxeter-Dinkinovih diagramov. Vse pa so predstavljene z zrcalnimi grupami končnorazsežnih evklidskih prostorov.

Končne Coxeterjeve grupe so sestavljene iz treh enoparameterskih družin z rastočim rangom $A_n, \text { }BC_n, \text { }D_n,$, eno enoparametersko družino z razsežnostjo dva ($I_2(p)$) in šestimi posebnimi grupami $E_6, \text { }E_7, \text { }E_8, \text { }F_4, \text { } H_3,$ in $H_4$.

Weylove grupe

Mnoge, vendar ne vse, so Weylove grupe, vsaka Weylova grupa pa se lahko prikaže kot Coxeterjeva grupa. Weylove grupe sta družini $A_n, BC_n,$ in $D_n,$ ter

Značilnosti

Nekatere značilnosti končnih Coxeterjevih grup so podane v naslednji preglednici:

simbol grupe	drugi simbol	notacija z oklepaji	rank	red	sorodni politopi	Coxeter-Dinkinov diagram
An	An	[3n]	n	(n + 1)!	n-simpleks	..
BCn	Cn	[4,3n-1]	n	2n n!	n-hiperkocka / n-ortopleks	...
Dn	Bn	[3n-3,1,1]	n	2n−1 n!	n-polhiperkocka	...
E6	E6	[32,2,1]	6	72x6! = 51840	221, 122
E7	E7	[33,2,1]	7	72x8! = 2903040	321, 231, 132
E8	E8	[34,2,1]	8	192x10! = 696729600	421, 241, 142
F4	F4	[3,4,3]	4	1152	24-celica
G2	-	[6]	2	12	šestkotnik
H2	G2	[5]	2	10	petkotnik
H3	G3	[3,5]	3	120	ikozaeder / dodekaeder
H4	G4	[3,3,5]	4	14400	120-celica / 600-celica
I2(p)	D2p	[p]	2	2p	p-kotnik

Simetrijske grupe pravilnih politopov

Vse simetrijske grupe pravilnih politopov so končne Coxeterjeve grupe.

Znane so tri skupine pravilnih politopov v vseh mogočih razsežnostih. Simetrijska grupa pravilnega n-simpleksa je simetrijska grupa S_n+1, ki je znana tudi kot Coxeterjeva grupa tipa A_n. Simetrijska grupa n-kocke in njene dualne oblike n-ortopleksa je BC_n, ki pa je znana kot hiperoktaederska grupa.

Posebni pravilni politopi v dveh, treh in štirih razsežnostih odgovarjajo drugim Coxeterjevim grupam. V dveh razsežnostih diederske grupa, ki je grupa simetrije pravilnih mnogokotnikov, tvorijo skupino I₂(p). V treh razsežnostih je simetrijska grupa pravilnih dodekaedrov in njihove dualne oblike ikozaedra je H₃, ki je znana kot polna ikozaederska grupa. V štirih razsežnostih so znani trije posebni pravilni politopi. To so 24-celica, 120-celica in 600-celica.

Coxeterjeve grupe tipa D_n, E₆, E₇ in E₈ so polpravilni politopi.

Opomba:Oznake: A_n, B_n, C_n, D_n, H_n, E₆, E₇, E₈, F₄ in G₂ so Koxeterjeva števila za posamezne Koxeterjeve grupe

Afine Coxeterjeve grupe

Afine Coxeterjeve grupe so druga pomembna skupina Coxeterjevih grup. To so tudi končne grupe, toda vsaka vsebuje normalno Abelovo podgrupo tako, da je faktorska grupa končna. Vsekakor pa je faktorska grupa Coxeterjeva grupa. Coxeterjev graf se dobi iz Coxeterjevega grafa Coxeterjeve grupe z dodajanjem novega vozlišča in dveh dodatnih povezav. V nadaljevanju so prikazane afine Coxeterjeve grupe.

simbol grupe	Wittov simbol	notacija z oklepaji	sorodne uniformne teselacije	Coxeter-Dinkinov diagram
${\tilde{A}}_n$	Pn+1	[3[n+1]]	simplektično satovje ${\tilde{A}}_2$:trikotniško tlakovanje ${\tilde{A}}_3$:tetraedersko-oktaedersko satovje	...
${\tilde{B}}_n$	Sn+1	[4,3n-2,31,1]	polkockino satovje	...
${\tilde{C}}_n$	Rn+1	[4,3n-1,4]	hiperkockino satovje	...
${\tilde{D}}_n$	Qn+1	[ 31,1,3n-3,31,1]	polhiperkubično satovje	...
${\tilde{E}}_6$	T7	[32,2,2]	222
${\tilde{E}}_7$	T8	[33,3,1]	331, 133
${\tilde{E}}_8$	T9	[35,2,1]	521, 251, 152
${\tilde{F}}_4$	U5	[3,4,3,3]	16-cell satovje 24-celično satovje
${\tilde{G}}_2$	V3	[6,3]	heksagonalno tlakovanje in trikotniško tlakovanje
${\tilde{I}}_1$	W2	[∞]	apeirogon

Zunanje povezave

• Coxeterjeva grupa na MathWorld (v angleščini)
• Coxeterjeve grupe (v angleščini)