Prisekana piramida

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Množica prisekanih piramid
Pentagonal frustum.svgUsech kvadrat piramid.png
Primer petstrane (zgoraj) in kvadratne (spodaj) prisekane piramide
Stranske ploskve n trapezov
2 n-kotnika
Robov 3 n
Oglišč 2 n
Simetrijska grupa Cnv, [1,n], (*nn)
Lastnosti konveksna

Prisekana piramida (tudi frustum) je v geometriji [1] del telesa (običajno stožca ali piramide), ki leži med dvema vzporednima ravninama, ki jo prerežeta.

Elementi[uredi | uredi kodo]

Vsak ravni presek je osnovna ploskev prisekane piramide. Kadar ima os je to os prvotnega stožca ali piramide. Prisekana piramida je krožna, če ima krožno osnovno ploskev. Je tudi pravilna, če je njena os pravokotna na obe osnovni ploskvi, v nasprotnem primeru pa je nagnjena.

Višina prisekane piramide je pravokotna razdalja med obema osnovnima ploskvama.

Stožci in piramide lahko obravnavamo tudi kot izrojene primere, kadar poteka vsaj ena ravnina reza skozi vrh (tako se pripadajoča osnovna ploskev zmanjša v točko).Prisekane piramide so podrazred prizmatoidov.

Kadar dve prisekani piramidi združimo v njihovih osnovnih ploskvah, dobimo dvojno prisekano piramido.

Prostornina[uredi | uredi kodo]

Prostornina stožčastega ali prisekane piramide je enak telesu, ki ga dobimo preden odrežemo vrh ter odštejemo vrh. To pa je enako

V = \frac{h_2 B_2 - h_1 B_1}{3}

kjer je

  • B_1 ploščina ene osnovne ploskve
  • B_2 ploščina druge osnovne ploskve
  • h_1 je pravokotna višina od vrha do ravnine spodnje osnovne ploskve
  • h_2 je pravokotna višina od vrha odrezanega dela do ravnine druge osnovne ploskve.

Če pa upoštevamo, da je

\frac{B_1}{h_1^2}=\frac{B_2}{h_2^2} = α lahko obrazec za prostornino izrazimo samo kot odvisnost od α/3 in razlike tretjih potenc višin h1 in h2. Pri tem je (h2h1) in višina prisekane piramide in α(h12 + h1h2 + h22)/3 za porazdelitev α, kar nam da Heronovo sredino za B1 in B2. Iz tega dobimo drugi obrazec za prostornino
V = \frac{h}{3}(B_1+B_2+\sqrt{B_1 B_2}).

Prostornina prisekanega krožnega stožca pa je

V = \frac{\pi h}{3}(R_1^2+R_2^2+R_1 R_2)

kjer je π 3,14159265...in R1, R2 sta polmera obeh osnovnih ploskev.

Prostornina prisekane piramide, ki ima za osnovno ploskev n-kotni mnogokotnik pa je

V= \frac{n h}{12} (a_1^2+a_2^2+a_1a_2)\cot \frac{\pi}{n}

where a1 in a2 sta stranici dveh osnovnih ploskev.

Površina[uredi | uredi kodo]

Pravokotni prisekani stožec [2] ima obstransko površino

\begin{align}\text{obstranska površina}&=\pi(R_1+R_2)s\\
&=\pi(R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}\end{align}

in

\begin{align}\text{celotno površino}&=\pi((R_1+R_2)s+R_1^2+R_2^2)\\
&=\pi((R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}+R_1^2+R_2^2)\end{align}

kjer je

  •  R_1 polmer osnovne ploskve
  •  R_2 polmer zgornje osnovne ploskve
  •  s je višina prisekanega stožca.


Površina prisekanega pravokotnega, katerega osnovna ploskev je podobna n-kotnemu mnogokotniku je

A= \frac{n}{4}\left[(a_1^2+a_2^2)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{(a_1^2-a_2^2)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2(a_1+a_2)^2} \right]

kjer sta a1 in a2 sta stranici vsake izmed osnovnih ploskev.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Izraz izhaja iz latinskega pojma frustum, kar pomeni "kos" ali "drobtina". Angleška beseda se včasih napačno črkuje kotfrustrum, verjetno zaradi podobnosti z besedami "frustrirati" in "frustracija", ki imata tudi latinski izvor
  2. ^ "Mathwords.com: Prisekan stožec ali piramida". Pridobljeno dne 17. julij 2011. 

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]