Seznam pravilnih politopov

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Pregled pravilnih politopov vsebuje pravilne politope v Evklidskih, sfernih in hiperboličnih prostorih.

Osnovni pregled pravilnih politopov[uredi | uredi kodo]

V naslednjem pregledu pravilnih politopov je podanih nekaj osnovnih lastnosti pravilnih politopov v odvisnosti od razsežnosti.

razsežnost konveksni nekonveksni konveksne
evklidske
teselacije
konveksne
hiperbolične
teselacije
nekonveksne
hiperbolične
teselacije
abstraktni
politopi
1 1 daljica 0 0 0 0 1
2 mnogokotnikov zvezdni mnogokotniki 1 1 0
3 5 platonskih teles 4 Kepler-Poinsotova telesa 3 tlakovanja
4 6 konveksnih polihoronov 10 Schläfli-Hessovih polihoronov 1 satovje 4 0
5 3 konveksni 5-politopi 0 nekonveksnih 5-politopov 3 teselacije 5 4
6+ 3 0 1 0 0

Teselacije[uredi | uredi kodo]

Pri konveksnih politopih lahko obravnavamo teselacijo in tlakovanje sfernega prostora.

Obravnavamo lahko tudi teselacijo Evklidskega in hiperboličnega prostora. Paziti je potrebno na to, da z n-razsežnimi politopi lahko opravimo teselacijo prostora, ki ima razsežnost za ena manjšo. Primer: trirazsežna Platonska telesa omogočajo teselacijo dvorazsežne ploskve na sferi.

Pravilni politopi v eni razsežnosti[uredi | uredi kodo]

V eni razsežnosti je samo en politop, katerega meje sta dva konca daljice. Označujemo ga s praznim Schläflijevim simbolom {}

Pravilni politopi v dveh razsežnostih[uredi | uredi kodo]

Politope v dveh razsežnostih imenujemo mnogokotniki. Pravilni mnogokotniki so enakostranični mnogokotniki. P-kotni pravilni mnogokotnik zapišemo s Schläflijevim simbolom v obliki {p}.

Konveksni pravilni politopi v dveh razsežnostih[uredi | uredi kodo]

Schläflijev simbol v obliki {p} predstavlja pravilni p-kotnik.

ime enakostranični trikotnik
(2-simpleks)
kvadrat
(2-ortopleks)
(hiperkocka)
petkotnik šestkotnik sedemkotnik osemkotnik
Schläfli {3} {4} {5} {6} {7} {8}
Coxeter
Dynkin
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.png
slika Regular triangle.svg Kvadrato.svg Regular pentagon.svg Regular hexagon.svg Regular heptagon.svg Regular octagon.svg
ime devetkotnik desetkotnik enajstkotnik dvanajstkotnik trinajstkotnik štirinajstkotnik
Schläfli {9} {10} {11} {12} {13} {14}
Dinkin CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 11.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 12.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 13.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 14.pngCDel node.png
slika Regular nonagon.svg Regular decagon.svg Regular hendecagon.svg Regular dodecagon.svg Regular tridecagon.svg Regular tetradecagon.svg
ime petnajstkotnik šestnajstkotnik sedemnajstkotnik osemnajstkotnik devetnajstkotnik dvajsetkotnik ...p-kotnik
Schläfli {15} {16} {17} {18} {19} {20} {p}
Dinkin CDel node 1.pngCDel 15.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 16.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 17.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 18.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 19.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 20.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.png
slika Regular pentadecagon.svg Regular hexadecagon.svg Regular heptadecagon.svg Regular octadecagon.svg Regular enneadecagon.svg Regular icosagon.svg

Degenerirani pravilni politopi (sferni) v dveh razsežnostih[uredi | uredi kodo]

Pravilni enokotnik in dvokotnik lahko obravnavamo kot degenerirani poligon.

ime enokotnik dvokotnik
Schläflijev simbol {1} {2}
Coxeterjev diagram CDel node.png CDel node 1.png
slika Henagon.svg Digon.svg

Nekonveksni pravilni politopi v dveh razsežnostih[uredi | uredi kodo]

ime pentagram heptagram oktagram eneagrami dekagram ...n-grami
Schläfli {5/2} {7/2} {7/3} {8/3} {9/2} {9/4} {10/3} {p/q}
Coxeter CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel dq.pngCDel node.png
slika Star polygon 5-2.svg Star polygon 7-2.svg Star polygon 7-3.svg Star polygon 8-3.svg Star polygon 9-2.svg Star polygon 9-4.svg Star polygon 10-3.svg  

Teselacija[uredi | uredi kodo]

Znana je samo ena teselacija premice. To je dvorazsežni apeirogon, ki ima neskončno veliko oglišč in robov. Njegov Schläflijev simbol je {∞} in Coxeterjev diagram je CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png.

Regular apeirogon.png

Pravilni politopi v treh razsežnostih[uredi | uredi kodo]

V treh razsežnostih se politopi imenujejo poliedri. Schläflijev simbol ima obliko {p, q}. To pomeni, da ima pravilne stranske ploskve tipa {p} ter pravilno sliko oglišč {q}.

Konveksni pravilni politopi v treh razsežnostih[uredi | uredi kodo]

Konveksni pravilni poliedri se imenujejo tudi Platonska telesa.

ime Schläfli
{p,q}
Coxeter slika
(prozorna)
slika
(telesna)
slika
(kroglična)
stranske ploskve
{p}
robovi oglišče
{q}
simetrijska grupa dualni politop
tetraeder
(3-simpleks)
(trikotna piramida)
{3,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Tetrahedron.svg Tetrahedron.png Uniform tiling 332-t0-1-.png 4
{3}
6 4
{3}
Td (sebi)
kocka
(3-kocka)
(heksaeder)
{4,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Hexahedron.svg Hexahedron.png Uniform tiling 432-t0.png 6
{4}
12 8
{3}
Oh oktaeder
oktaeder
(3-ortopleks)
{3,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png Octahedron.svg Octahedron.png Uniform tiling 432-t2.png 8
{3}
12 6
{4}
Oh kocka
dodekaeder {5,3} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Dodecahedron.svg Dodecahedron.png Uniform tiling 532-t0.png 12
{5}
30 20
{3}2
Ih ikozaoeder
ikozaeder {3,5} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png Icosahedron.svg Icosahedron.png Uniform tiling 532-t2.png 20
{3}
30 12
{5}
Ih dodekaeder

Degenerirani pravilni politopi (sferni) v treh razsežnostih[uredi | uredi kodo]

V sferni geometriji se hozoeder {2, n} in dieder {n, 2} obravnavata kot pravilna mnogokotnika.

ime Schläfli
{p,q}
Coxeterjev
diagram
Slika
(sfera)
stranske ploskve
{p}
robovi oglišča
{q}
simetrija dualni politop
hengonalni dieder {1,2} CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png Hengonal dihedron.png 2
{1}
1 1
{2}
C1v
(*22)
hengonalni hozoeder
hengonal hosoheder {2,1} CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png Henagonal hosohedron.png 1
{2}
1 2
{1}
C1v
(*22)
hengonalni dieder
digonalni diheder
Digonalni hosoeder
{2,2} CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png Digonal dihedron.png 2
{2}
2 2
{2}
D2h
(*222)
sebi
trigonalni hozoeder {2,3} CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Trigonal hosohedron.png 3
{2}
3 2
{3}
D3h
(*322)
trigonalni dieder
trigonalni dieder {3,2} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png Trigonal dihedron.png 2
{3}
3 3
{2}
D3h
(*322)
trigonalni hozoeder
heksagonalni hozoeder {2,6} CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png Hexagonal hosohedron.png 6
{2}
6 2
{6}
D3h
(*622)
heksagonalni dieder

Nekonveksni pravilni politopi v treh razsežnostih[uredi | uredi kodo]

Pravilni zvezdni poliedri se imenujejo Kepler-Poinsotovi poliedri. Poznani so samo štirje, ki jih lahko uredimo po ogliščih kot sta dodekaeder {5, 3} in ikozaeder {3, 5}.

ime slika
(prosojna)
slika
(telesna)
slika
(sferna)
diagram zvezdnega mnogokotnika Schläfli
{p,q} in
Coxeter-Dinkin
stranske ploskve
{p}
robovi oglišča
{q}
verf.
χ gostota simetrija dualni politop
majhen zvezdasti dodekaeder SmallStellatedDodecahedron.jpg Small stellated dodecahedron.png Small stellated dodecahedron tiling.png Second stellation of dodecahedron facets.svg {5/2,5}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
12
{5/2}
Pentagram.svg
30 12
{5}
Pentagon.svg
-6 3 Ih veliki dodekaeder
veliki dodekaeder GreatDodecahedron.jpg Great dodecahedron.png Great dodecahedron tiling.png Second stellation of dodecahedron facets.svg {5,5/2}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
12
{5}
Pentagon.svg
30 12
{5/2}
Pentagram.svg
-6 3 Ih mali zvezdasti dodekaeder
veliki zvezdasti dodekaeder GreatStellatedDodecahedron.jpg Great stellated dodecahedron.png Great stellated dodecahedron tiling.png Third stellation of dodecahedron facets.svg {5/2,3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
12
{5/2}
Pentagram.svg
30 20
{3}
Triangle.Equilateral.svg
2 7 Ih veliki ikozaeder
veliki ikozaeder GreatIcosahedron.jpg Great icosahedron.png Great icosahedron tiling.png Sixteenth stellation of icosahedron facets.png {3,5/2}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
20
{3}
Triangle.Equilateral.svg
30 12
{5/2}
Pentagram.svg
2 7 Ih veliki zvezdasti dodekaeder

Teselacije[uredi | uredi kodo]

Evklidsko tlakovanje[uredi | uredi kodo]

Znane so tri pravilne teselacije ravnine, ki imajo Eulerjevo karakteristiko z vrednostjo 0.

ime Schläfli {p,q} Coxeterjev
diagram
slika tip stranske
ploskve
{p}
slika oglišč
{q}
simetrija dualno
kvadratno tlakovanje
(kvadril)
{4,4} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png Tiling Regular 4-4 Square.svg {4} {4} *442
(p4m)
(sebi)
trikotno tlakovanje
(deltil)
{3,6} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png Tiling Regular 3-6 Triangular.svg {3} {6} *632
(p6m)
šestkotno tlakovanje
šestkotno tlakovanje
(hekstil)
{6,3} CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Tiling Regular 6-3 Hexagonal.svg {6} {3} *632
(p6m)
trikotno tlakovanje

Evklidsko zvezdno tlakovanje[uredi | uredi kodo]

Ne obstoja pravilno tlakovanje zvezdnih mnogokotnikov

Hiperbolična tlakovanja[uredi | uredi kodo]

Teselacije hiperboličnega dvorazsežnega prostora imenujemo hiperbolična tlakovanja. Obstoja neskončno veliko pravilnih tlakovanj v H2. Vsak par pozitivnih števil {p, q} ki zadošča pogoju 1/p + 1/q <1/2, nam da hiperbolično tlakovanje.

Vzorec:

Sferna (Platonska)/Evklidska/hiperbolična (Poincaréjev disk) teselacije s Schläflijevimi simboli
p \ q 3 4 5 6 7 8 9
3 Uniform tiling 332-t0-1-.png
(tetraeder)
{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 432-t2.png
(oktaeder)
{3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 532-t2.png
(ikozaeder)
{3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 63-t2.png
(trikotno tlakovanje)
{3,6}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
Uniform tiling 37-t0.png

{3,7}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
Uniform tiling 38-t0.png

{3,8}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
Uniform tiling 39-t0.png

{3,9}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png
4 Uniform tiling 432-t0.png
(kocka)
{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 44-t0.png
(kvadratno tlakovanje)
{4,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 45-t0.png

{4,5}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 46-t0.png

{4,6}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
Uniform tiling 47-t0.png

{4,7}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
Uniform tiling 48-t0.png

{4,8}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
{4,9}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png
5 Uniform tiling 532-t0.png
(dodekaeder)
{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 54-t0.png

{5,4}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 55-t0.png

{5,5}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 56-t0.png

{5,6}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
Uniform tiling 57-t0.png

{5,7}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
{5,8}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
{5,9}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png
6 Uniform tiling 63-t0.png
(šestkotno tlakovanje)
{6,3}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 64-t0.png

{6,4}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 65-t0.png

{6,5}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 66-t0.png

{6,6}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
{6,7}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
{6,8}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
{6,9}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png
7 Uniform tiling 73-t0.png

{7,3}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 74-t0.png

{7,4}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 75-t0.png

{7,5}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
{7,6}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
{7,7}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
{7,8}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
{7,9}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png
8 Uniform tiling 83-t0.png

{8,3}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 84-t0.png

{8,4}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
{8,5}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
{8,6}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
{8,7}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
{8,8}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
{8,9}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png
9 Uniform tiling 93-t0.png

{9,3}
CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{9,4}
CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
{9,5}
CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
{9,6}
CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
{9,7}
CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
{9,8}
CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
{9,9}
CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png

Štirirazsežni pravilni politopi[uredi | uredi kodo]

Pravilni 4-politopi s Schläflijevim simbolom v obliki {p, q, r} imajo celice tipa {p, q}, stranske ploskve tipa {p}, slike robov {r} in slike oglišč {q, r}.

  • slika oglišč štirirazsežnega politopa je polieder. Za pravilne štirirazsežne politope je to pravilni polieder.
  • slika robov je mnogokotnik v katerem se vidi razporeditev stranskih ploskev okoli roba. Politopi v štirih razsežnostih je slika roov vedno pravilni mnogokotnik.

Eulerjeva karakteristika štiri razsežnih politopov je  \chi = V + F - E - C \,, ki pa je enaka 0 za vse oblike.

Konveksni pravilni politopi v štirih razsežnostih[uredi | uredi kodo]

V naslednji tabeli je prikazanih 6 konveksnih poliedrov. Vsi imajo Eulerjevo karakteristiko enako 0.

ime
Schläfli
{p,q,r}
Coxeter
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png
celice
{p,q}
stranske ploskve
{p}
robovi
{r}
oglišča
{q,r}
dualni politop
{r,q,p}
5-celica
(4-simpleks)
(pentahoron)
{3,3,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 5
{3,3}
10
{3}
10
{3}
5
{3,3}
(sebi)
8-celica
(4-kocka)
(teserakt)
{4,3,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 8
{4,3}
24
{4}
32
{3}
16
{3,3}
16-celica
16-celica
(4-ortopleks)
{3,3,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 16
{3,3}
32
{3}
24
{4}
8
{3,4}
teserakt
24-celica {3,4,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 24
{3,4}
96
{3}
96
{3}
24
{4,3}
(sebi)
120-celica {5,3,3} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 120
{5,3}
720
{5}
1200
{3}
600
{3,3}
600-celica
600-celica {3,3,5} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png 600
{3,3}
1200
{3}
720
{5}
120
{3,5}
120-celica
5-celica 8-celica 16-celica 24-celica 120-celica 600-celica
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
modeli za (Petrijev mnogokotnik) v poševni ortografski projekciji
Complete graph K5.svg 4-cube graph.svg 4-orthoplex.svg 24-cell graph F4.svg Cell120Petrie.svg Cell600Petrie.svg
ortografske projekcije teles
Tetrahedron.png
tetraederska
ovojnica
Hexahedron.png
kockina ovojnica
16-cell ortho cell-centered.png
kockina
ovojnica
Ortho solid 24-cell.png
kubooktaederska
ovojnica
Ortho solid 120-cell.png
ovojnica prisekanega rombskega
triakontaedra
Ortho solid 600-cell cell centered.png
heksakisov popravljeni prirezani oktaeder
modeli prikazani v Schleglovih diagramih (projekcija v perspektivi)
Schlegel wireframe 5-cell.png
(središče celice)
Schlegel wireframe 8-cell.png
(središče celice)
Schlegel wireframe 16-cell.png
(središče celice)
Schlegel wireframe 24-cell.png
(središče celice)
Schlegel wireframe 120-cell.png
(središče celice)
Schlegel wireframe 600-cell.png
(središče celice)
modeli prikazani v stereogafskih projekcijah (3-sfera|hipersferna)
Stereographic polytope 5cell.png Stereographic polytope 8cell.png Stereographic polytope 16cell.png Stereographic polytope 24cell.png Stereographic polytope 120cell.png Stereographic polytope 600cell.png

Degenerirani pravilni politopi (sferni) v štirih razsežnostih[uredi | uredi kodo]

Ditopi in hozotopi obstojajo kot pravilna teselacija 3 sfere.

Pravilni ditopi (imajo po dve faceti) so {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2}, {p,2,2}.

Nekoveksni pravilni politopi v štirih razsežnostih[uredi | uredi kodo]

Obstoja deset pravilnih štirirazsežnih zvezdnih politopov, ki jih lahko imenujemo Schläfi-Hessovi politopi. Njihova oglišča so osnovana na konveksnih 120-celicah ({5, 3, 3}) in 600-celicah ({3, 3, 5})


ime
mreža telo Schläflijev simbol
{p, q,r}
Coxeter–Dinkinov diagram
celice
{p, q}
stranske ploskve
{p}
robovi
{r}
oglišča
{q, r}
gostota χ simetrijska grupa dualni
{r, q,p}
ikozaederska 120-celica Schläfli-Hess polychoron-wireframe-3.png Ortho solid 007-uniform polychoron 35p-t0.png {3,5,5/2}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
120
{3,5}
Icosahedron.png
1200
{3}
Triangle.Equilateral.svg
720
{5/2}
Pentagram.svg
120
{5,5/2}
Great dodecahedron.png
4 480 H4 mala zvezdna 120-celica
mala zvezdna 120-celica Schläfli-Hess polychoron-wireframe-2.png Ortho solid 010-uniform polychoron p53-t0.png {5/2,5,3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
120
{5/2,5}
Small stellated dodecahedron.png
720
{5/2}
Pentagram.svg
1200
{3}
Triangle.Equilateral.svg
120
{5,3}
Dodecahedron.png
4 −480 H4 ikozaederska 120-celica
velika 120-celica Schläfli-Hess polychoron-wireframe-3.png Ortho solid 008-uniform polychoron 5p5-t0.png {5,5/2,5}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
120
{5,5/2}
Great dodecahedron.png
720
{5}
Pentagon.svg
720
{5}
Pentagon.svg
120
{5/2,5}
Small stellated dodecahedron.png
6 0 H4 sebi dualni
imenitna 120-celica Schläfli-Hess polychoron-wireframe-3.png Ortho solid 009-uniform polychoron 53p-t0.png {5,3,5/2}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
120
{5,3}
Dodecahedron.png
720
{5}
Pentagon.svg
720
{5/2}
Pentagram.svg
120
{3,5/2}
Great icosahedron.png
20 0 H4 velika zvezdna 120-celica
velika zvezdna 120-celica Schläfli-Hess polychoron-wireframe-4.png Ortho solid 012-uniform polychoron p35-t0.png {5/2,3,5}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
120
{5/2,3}
Great stellated dodecahedron.png
720
{5/2}
Pentagram.svg
720
{5}
Pentagon.svg
120
{3,5}
Icosahedron.png
20 0 H4 imenitna 120-celica
imenitna zvezdna 120-celica Schläfli-Hess polychoron-wireframe-4.png Ortho solid 013-uniform polychoron p5p-t0.png {5/2,5,5/2}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
120
{5/2,5}
Small stellated dodecahedron.png
720
{5/2}
Pentagram.svg
720
{5/2}
Pentagram.svg
120
{5,5/2}
Great dodecahedron.png
66 0 H4 sebi dualni
velika imenitna 120-celica Schläfli-Hess polychoron-wireframe-2.png Ortho solid 011-uniform polychoron 53p-t0.png {5,5/2,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
120
{5,5/2}
Great dodecahedron.png
720
{5}
Pentagon.svg
1200
{3}
Triangle.Equilateral.svg
120
{5/2,3}
Great stellated dodecahedron.png
76 −480 H4 velika ikozaederska 120-celica
velika ikozaederska 120-celica Schläfli-Hess polychoron-wireframe-4.png Ortho solid 014-uniform polychoron 3p5-t0.png {3,5/2,5}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
120
{3,5/2}
Great icosahedron.png
1200
{3}
Triangle.Equilateral.svg
720
{5}
Pentagon.svg
120
{5/2,5}
Small stellated dodecahedron.png
76 480 H4 velika imenitna 120-celica
imenitna 600-celica Schläfli-Hess polychoron-wireframe-4.png Ortho solid 015-uniform polychoron 33p-t0.png {3,3,5/2}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
600
{3,3}
Tetrahedron.png
1200
{3}
Triangle.Equilateral.svg
720
{5/2}
Pentagram.svg
120
{3,5/2}
Great icosahedron.png
191 0 H4 velika imenitna zvezdna 120-celica
velika imenitna zvezdna 120-celica Schläfli-Hess polychoron-wireframe-1.png Ortho solid 016-uniform polychoron p33-t0.png {5/2,3,3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
120
{5/2,3}
Great stellated dodecahedron.png
720
{5/2}
Pentagram.svg
1200
{3}
Triangle.Equilateral.svg
600
{3,3}
Tetrahedron.png
191 0 H4 imenitna 600-celica

Teselacija Evklidski trirazsežni prostor[uredi | uredi kodo]

Pogled skozi mrežo kockinega satovja{4,3,4}.

Obstoja samo ena pravilna teselacija v trirazsežnem prostoru.

Teselacija hiperbolični trirazsežni prostor[uredi | uredi kodo]

Teselacijo trirazsežnega hiperboličnega prostora imenujemo hiperbolično satovje. Znana so štiri pravilna satovje v H3.

ime Schläfli
simbol
{p,q,r}
Coxeter
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png
celica
type
{p,q}
stranska ploskev
type
{p}
slika
robov
{r}
slika
oglišč

{q,r}
χ dualni
ikozaedrsko satovje {3,5,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png {3,5} {3} {3} {5,3} 0 sebi dualen
red-5 kockino satovje {4,3,5} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png {4,3} {4} {5} {3,5} 0 {5,3,4}
red-4 dodekaedersko satovje {5,3,4} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {5,3} {5} {4} {3,4} 0 {4,3,5}
red-5 dodekaedersko satovje {5,3,5} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png {5,3} {5} {5} {3,5} 0 sebi dualno

Prikazanih je nekaj projekcij: Prva prikazuje pogled iz središča v Beltrami-Kleinovem modelu. Druga in tretja slika kažejo pogled od zunaj z uporabo Poincarèjevega modela žoge.

Hyperbolic orthogonal dodecahedral honeycomb.png
{5,3,4}
(8 dodekaedrov pri oglišču)
Hyperb gcubic hc.png
{4,3,5}
(20 kock pri oglišču)
Hyperb icosahedral hc.png
{3,5,3}
(12 ikozaedrov a oglišču)

Pravilni politopi v petih in več razsežnostih[uredi | uredi kodo]

V nadaljevanju so opisani pet in večrazsežni politopi. V petih razsežnostih lahko pravilni politop prikažemo s Schläflijevim simbolom v obliki {p, q, r, s}, kjer so {p, q, r,} hipercelice (teroni), stranske ploskve imajo tip {p}, slika stranskih ploskev je {s}, slika robov je {r, s}, slika oglišč pa je {q, r, s}.

5-politop imenujemo tudi politeron, če pa je neskončen ga imenujemo satje.

slika oglišč 5-politopa je polihoron, ki ga vidimo kot razporeditev oglišč okoli vsakega oglišča posebej.
slika robov 5-politopa je polieder kot se vidi razporeditev oglišč okoli vsakega oglišča
slika stranskih ploskev 5-politopa je mnogokotnik kot se vidi razporeditev celic okoli vsake stranske ploskve.

Konveksni pravilni politopi v petih razsežnostih[uredi | uredi kodo]

V petih in višjih razsežnostih so samo tri vrste konveksnih pravilnih politopov. poskus

ime Schläfli
{p1,...,pn−1}
Coxeter k-stranske ploskve tip
facete
slika
oglišč
dualni politop
n-simpleks {3n−1} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png {{n+1} \choose {k+1}} {3n−2} {3n−2} sebi dualni
n-kocka {4,3n−2} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 2^{n-k}{n \choose k} {4,3n−3} {3n−2} n-ortopleks
n-ortopleks {3n−2,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 2^{k+1}{n \choose {k+1}} {3n−2} {3n−3,4} n-kocka

pravilni politopi v 5 razsežnostih

ime Schläfli
Symbol
{p,q,r,s}
Coxeter
facete
{p,q,r}
celice
{p,q}
stranske ploskve
{p}
robovi oglišča slika
stranskih ploskev
{s}
slika
robov
{r,s}
slika
oglišč

{q,r,s}
5-simpleks {3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
6
{3,3,3}
15
{3,3}
20
{3}
15 6 {3} {3,3} {3,3,3}
5-kocka {4,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
10
{4,3,3}
40
{4,3}
80
{4}
80 32 {3} {3,3} {3,3,3}
5-ortopleks {3,3,3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
32
{3,3,3}
80
{3,3}
80
{3}
40 10 {4} {3,4} {3,3,4}


5-simplex t0.svg
5-simplex
5-cube graph.svg
5-kocka
5-orthoplex.svg
5-ortopleks

pravilni politopi v 6 razsežnostih

ime Schläflijev
simbol
oglišča robovi stranske ploskve celice 4-stranske ploskve 5-stranskih ploskev χ
6-simpleks {3,3,3,3,3} 7 21 35 35 21 7 0
6-kocka {4,3,3,3,3} 64 192 240 160 60 12 0
6-ortopleks {3,3,3,3,4} 12 60 160 240 192 64 0
6-simplex t0.svg
6-simpleks
6-cube graph.svg
6-kocka
6-orthoplex.svg
6-orthopleks

pravilni politopi v 7 razsežnostih

ime Schläflijev
simbol
oglišča robovi stranske ploskve celice 4-stranske ploskve 5-stranskih ploskev 6-stranskih ploskev χ
7-simpleks {3,3,3,3,3,3} 8 28 56 70 56 28 8 2
7-kocka {4,3,3,3,3,3} 128 448 672 560 280 84 14 2
7-orthopleks {3,3,3,3,3,4} 14 84 280 560 672 448 128 2
7-simplex t0.svg
7-simplex
7-cube graph.svg
7-kocka
7-orthoplex.svg
7-orthopleks

pravilni politopi v 8 razsežnostih

ime Schläflijev
simbol
oglišča robovi stranske ploskve celice 4-stranske ploskve 5-stranskih ploskev 6-stranskih ploskev 7-stranskih ploskev χ
8-simpleks {3,3,3,3,3,3,3} 9 36 84 126 126 84 36 9 0
8-kocka {4,3,3,3,3,3,3} 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 0
8-orthopleks {3,3,3,3,3,3,4} 16 112 448 1120 1792 1792 1024 256 0
8-simplex t0.svg
8-simpleks
8-cube.svg
8-kocka
8-orthoplex.svg
8-orthopleks

pravilni politopi v 9 razsežnostih

ime Schläflijev simbol oglišča robovi stranske ploskve celice 4-stranske ploskve 5-stranskih ploskev 6-stranskih ploskev 7-stranskih ploskev 8-stranskih ploskev χ
9-simpleks {38} 10 45 120 210 252 210 120 45 10 2
9-kocka {4,37} 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 2
9-ortopleks {37,4} 18 144 672 2016 4032 5376 4608 2304 512 2
9-simplex t0.svg
9-simplex
9-cube.svg
9-kocka
9-orthoplex.svg
9-orthopleks

pravilni politopi v 10 razsežnostih

ime Schläflijev simbol oglišča robovi stranske ploskve celice 4-stranske ploskve 5-stranskih ploskev 6-stranskih ploskev 7-faces 8-stranskih ploskev 9-stranskih ploskev χ
10-simpleks {39} 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 0
10-kocka {4,38} 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 0
10-orthoplex {38,4} 20 180 960 3360 8064 13440 15360 11520 5120 1024 0
10-simplex t0.svg
10-simpleks
10-cube.svg
10-kocka
10-orthoplex.svg
10-ortopleks

Nekonveksni pravilni politopi[uredi | uredi kodo]

V petih ali višjih razsežnostih ne obstojajo nekonveksni pravilni politopi.

Teselacija Evklidski štirirazsežni prostor[uredi | uredi kodo]

Znane so tri neskončne pravilne teselacije (satovje), ki zapolnijo štirirazsežni prostor

ime Schläfli
simbol
{p,q,r,s}
tip
facete
{p,q,r}
tip
celice
{p,q}
tip
stranske ploskve
{p}
slika
stranske ploskve
{s}
slika
robov
{r,s}
slika
oglišč

{q,r,s}
dualna oblika
tesekratno satovje {4,3,3,4} {4,3,3} {4,3} {4} {4} {3,4} {3,3,4} sebi dualni
heksadekahorno satovje {3,3,4,3} {3,3,4} {3,3} {3} {3} {4,3} {3,4,3} {3,4,3,3}
ikozitetrahorno satovje {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {3} {3,3} {4,3,3} {3,3,4,3}
Tesseractic tetracomb.png
projicirani del{4,3,3,4}
(teseraktno satovje)
Demitesseractic tetra hc.png
projicirani del {3,3,4,3}
(heksadekahorno satovje)
Icositetrachoronic tetracomb.png
projicirani del{3,4,3,3}
(ikozite

trahorno satovje)

Hiperkockino satovje je ena izmed oblik pravilnega satovja, ki lahko zapolni vsako razsežnost (peto ali višjo) z obliko hiperkockinih facet, ki so štiri okoli vsakega grebena.


ime Schläfli
{p1, p2, ..., pn−1}
tip
facete
slika
oglišč
dualna oblika
kvadratno tlakovanje {4,4} {4} {4} sebi dualni
kockino satovje {4,3,4} {4,3} {3,4} sebi dualni
teseraktno satovje {4,32,4} {4,32} {32,4} sebi dualni
penteraktično satovje {4,33,4} {4,33} {33,4} sebi dualni
hekseraktično satovje {4,34,4} {4,34} {34,4} sebi dualni
hepteraktično satovje {4,35,4} {4,35} {35,4} sebi dualni
okteraktično satovje {4,36,4} {4,36} {36,4} sebi dualni
n-hiperkockino satovje {4,3n−2,4} {4,3n−2} {3n−2,4} sebi dualni

Teselacija štirirazsežni hiperbolični prostor[uredi | uredi kodo]

Znanih je pet vrst konveksnih pravilnih satovij in štiri vrste zvezdastih satovij v prostoru H4

Pet konveksnih pravilnih satovij v H4 je:

ime Schläflijev
simbol
{p,q,r,s}
tip
facete
{p,q,r}
tip
celice
{p,q}
tip
stranske
ploskve{p}
slika
stranskih
ploskev{s}
slika
robov
{r,s}
slika
oglišč

{q,r,s}
dualna oblika
red-5 5-celično satovje {3,3,3,5} {3,3,3} {3,3} {3} {5} {3,5} {3,3,5} {5,3,3,3}
red-3 120-celično satovje {5,3,3,3} {5,3,3} {5,3} {5} {3} {3,3} {3,3,3} {3,3,3,5}
red-5 teseraktično satovje {4,3,3,5} {4,3,3} {4,3} {4} {5} {3,5} {3,3,5} {5,3,3,4}
red-4 120-celično satovje {5,3,3,4} {5,3,3} {5,3} {5} {4} {3,4} {3,3,4} {4,3,3,5}
red-5 600-celično satovje {5,3,3,5} {5,3,3} {5,3} {5} {5} {3,5} {3,3,5} sebi dualni

Znana so štiri pravilna zvezdasta satovja v prostoru H4:

ime Schläflijev
simbol
{p,q,r,s}
tip
facete
{p,q,r}

tip
celice
{p,q}

tip
stranske ploskve
{p}
slika
stranske ploskve
{s}
slika
robov
{r,s}
slika
oglišč

{q,r,s}
dualna oblika
red-3 malo zvezdasto 120-celično satovje {5/2,5,3,3} {5/2,5,3} {5/2,5} {5} {5} {3,3} {5,3,3} {3,3,5,5/2}
pentagramski red 600-celično satovje {3,3,5,5/2} {3,3,5} {3,3} {3} {5/2} {5,5/2} {3,5,5/2} {5/2,5,3,3}
red-5 ikozaedersko 120-celično satovje {3,5,5/2,5} {3,5,5/2} {3,5} {3} {5} {5/2,5} {5,5/2,5} {5,5/2,5,3}
red-3 veliko 120-celično satovje {5,5/2,5,3} {5,5/2,5} {5,5/2} {5} {3} {5,3} {5/2,5,3} {3,5,5/2,5}

V H4 sta znani tudi 2 vrsti satovja z neskončnima facetama ali sliko oglišč {3, 4, 3, 4} in {4, 3, 4, 3}.

Apeirotopi[uredi | uredi kodo]

Apeirotopi so podobno kot ostali politopi nepovezane hiperploskve. Razlika je samo v tem, da se hiperploskve obrnejo nazaj in se zaprejo okoli končne prostornine hiperprostora. Apeirotopi se ne zasučejo nazaj v samega sebe.

Dve razsežnosti[uredi | uredi kodo]

Apeirogon je pravilna neskončno dolga premica, razdeljena na enake dele, ki jih povezujejo vozlišča.

Tri razsežnosti[uredi | uredi kodo]

Apeiroeder je neskončna poliederska ploskev. Podobno kot apeirogon je lahko ploščat ali nagnjen. Ploščati apeiroeder samo tlakuje (pokrije) ravnino. Nagnjeni polieder je satovju podobna struktura, ki deli prostor na dve področji.

Znanih je 30 pravilnih apeiroedrov v Evklidskem prostoru.[1]:§/E Vključujejo teselacije tipa \{4,4\}, \{6,3\} in \{3,6\} in navzgor ter v ravnini tudi politope tipa \{\infty,3\}, \{\infty,4\} in \{\infty,6\}. V trirazsežnem prostoru pa njihovo mešanico.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]