Gostota (geometrija)

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Meja pravilnega eneagrama {9/4} obkroži središče 4 krat. Tako ima gostoto 4.

Gostota je v geometriji enako številu, ki pomeni stopnjo nepretrganih preliskav politopa. To pomeni število obkroženj, ki jih opravi uniformni politop ali pravilni politop okoli središča.

Mnogokotniki[uredi | uredi kodo]

Gostota zvezdnega mnogokotnika je enaka številu, ki pove kolikokrat meja mnogokotnika obkroži njegovo središče

Poliedri[uredi | uredi kodo]

Great icosahedron.png Great icosahedron cutplane.png
Nekonveksni veliki ikozaeder {3,5/2} ima gostoto 7 kot je prikazano na tej prosojni sliki in s prikazom preseka na desni sliki.

Arthur Cayley (1821 – 1895) je uporabil gostoto, da bi spremenil Eulerjevo Eulerjev obrazec (VE + F = 2), da bi upošteval tudi Kepler-Poinsotova telesa. Gostota slike oglišča je dv. Gostota df naj velja za stransko ploskev in D za polieder kot celoto. V tem primeru velja:

dv VE + df F = 2D [1].

Zgled: veliki ikozaeder {3, 5/2} ima 20 trikotnih stranskih ploskev (df = 1), 30 robov in 12 pentagramskih slik oglišč (dv = 2). To nam da

2.12 - 30 + 1.20 = 14 = 2D, kar nam da gostoto 7.

Pravilni zvezdni poliedri obstojajo v dveh dualnih parih. Vsaka oblika ima enako gostoto kot njegov dual. En par ima gostoto 4, drugi pa 7.

Hess je še nadalje posplošil obrazec za zvezdne poliedre z različnimi oblikami stranskih ploskev. Nekateri od njih so lahko zavihani nazaj. Vrednost gostote odgovarja številu, ki pove kolikokrat polieder prekrije sfero. To je omogočilo Coxeterju in ostalim, da so določili gostote za večino uniformnih poliedrov [2]

Za hemipoliedre, za katere stranske ploskve gredo skozi središče, ne moremo določiti gostote. Neorientabilni poliedri prav tako nimajo dobro definiranih gostot.

Polihoroni[uredi | uredi kodo]

Znanih je deset pravilnih zvezdnih polihoronov ali 4-politopov (imenujemo jih Schläfli -Hessov polihoroni, ki imajo gostote med 4 in 19.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Cromwell, P.; Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). (stran 258)
  2. ^ Coxeter, 1954 (Section 6, Density and Table 7, Uniform polyhedra)

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]