Seznam pravilnih poliedrov
Trenutno poznamo 48 različnih pravilnih poliedrov, ti se delijo na konveksne in konkavne. V tem seznamu so razporejene glede na odkritelje in sicer po kronološkem zaporedju od nam najdlje poznanih do nazadnje odkritih leta 1997.[1]
Kriteriji[uredi | uredi kodo]
Obstaja več različnih definicij za pravilne poliedre, tukaj je uporabljena definicija, ki jo podpira največ ljudi:
- polieder mora imeti skladne vse stranice, mejne ploskve in oglišča
- polieder mora biti v 3D evklidskem prostoru
- nobena stranica, oglišče ali mejna ploskev ne sme ležati na drugem, lahko pa se sekajo
S tako definicijo dobimo 48 pravilnih poliedrov, navedenih v spodnjem seznamu.
Platonska telesa[uredi | uredi kodo]
Platonska telesa so poliedri, na katere običajno mislimo, ko govorimo o pravilnih poliedrih. Najstarejši zapis platonskih teles sega v 360 pr. n. št., ko jih Platon opiše v svojem dialogu Timaeus.
| Ime | Slika | Osnovna ploskev | Schläfliev simbol | Št. stranic | Št. oglišč | Št. mejnih ploskev | Dual | Petrial |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| tetraeder | 
|
|
{3, 3} | 6 | 4 | 4 | tetraeder | petrialni tetraeder |
| heksaeder (kocka) | 
|
|
{4, 3} | 12 | 8 | 6 | oktaeder | petrialni heksaeder |
| oktaeder | 
|
trikotnik |
{3, 4} | 12 | 6 | 8 | heksaeder | petrialni oktaeder |
| dodekaeder | 
|
|
{5, 3} | 30 | 20 | 12 | ikozaeder | petrialni dodekaeder |
| ikozaeder | 
|
trikotnik |
{3, 5} | 30 | 12 | 20 | dodekaeder | petrialni ikozaeder |
Keplerjeva telesa[uredi | uredi kodo]
Keplerjevi telesi sta dva nekonveksna pravilna poliedra, ki imata za osnovno ploskev petagram. Odkril ju je Johannes Kepler okoli leta 1619.
| Ime | Slika | Osnovna ploskev | Schläfliev simbol | Št. stranic | Št. oglišč | Št. mejnih ploskev | Dual | Petrial |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| mali stelirani dodekaeder | 
|
pentagram |
{5/2, 5} | 30 | 12 | 12 | veliki dodekaeder | petrialni mali stelirani dodekaeder |
| veliki stelirani dodekaeder | 
|
pentagram |
{5/2, 3} | 30 | 20 | 12 | veliki ikozaeder | petrialni veliki stelirani dodekaeder |
Poinsotova telesa[uredi | uredi kodo]
Poinsotovi telesi je odkril Louis Poinsot leta 1806, ko je iskal duale keplerjevih teles.
| Ime | Slika | Osnovna ploskev | Schläfliev simbol | Št. stranic | Št. oglišč | Št. mejnih ploskev | Dual | Petrial |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| veliki ikozaeder | 
|
|
{3, 5/2} | 30 | 12 | 20 | mali stelirani dodekaeder | petrialni veliki ikozaeder |
| veliki dodekaeder | 
|
|
{5, 5/2} | 30 | 12 | 12 | veliki stelirani dodekaeder | petrialni veliki dodekaeder |
Evklidsko tlakovanje[uredi | uredi kodo]
Evklidsko tlakovanje je tlakovanje ravnine z enakimi pravilnimi mnogokotniki. Ravnino lahko prekrijejo le kvadratno, šestkotno in trikotno tlakovanje. Ker se tlakovanja nadaljujejo v neskončnost, je število stranic, oglišč in mejnih ploskev neskončno.
| Ime | Slika | Osnovna ploskev | Schläfliev simbol | Dual | Petrial |
|---|---|---|---|---|---|
| trikotno tlakovanje | 
|
|
{3, 6} | šestkotno tlakovanje | petrialno trikotno tlakovanje |
| kvadratno tlakovanje | 
|
|
{4, 4} | kvadratno tlakovanje | petrialno kvadratno tlakovanje |
| šestkotno tlakovanje | 
|
|
{6, 3} | trikotno tlakovanje | petrialno šestkotno tlakovanje |
Petrie-coxeterjeva telesa[uredi | uredi kodo]
John Flinders Petrie je leta 1926 generaliziral definicijo pravilnih poliedrov, preko katere je Harold Scott MacDonald Coxeter odkril še tri nove neskončne pravilne poliedre.
| Ime | Slika | Osnovna ploskev | Osnovna luknja | Schläfliev simbol | Dual | Petrial |
|---|---|---|---|---|---|---|
| mukocka | 
|
|
|
{4, 6|4} | muoktaeder | petrialna mukocka |
| muoktaeder | 
|
|
|
{6, 4|4} | mukocka | petrialna mukocka |
| mutetraeder | 
|
|
|
{6, 6|3} | mutetraeder | petrialni mutetraeder |
Petriali[uredi | uredi kodo]
Petriali so telesa, ki izgledajo enako, kot njihovi petrialni pari, ampak imajo za osnovno ploskev izkrivljen mnogokotnik. Tako je John Flinders Petrie odkril 15 novih pravilnih poliedrov.
| Ime | Slika | Osnovna ploskev | Schläfliev simbol | Št. stranic | Št. oglišč | Št. mejnih ploskev | Petrial |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| petrialni tetraeder | 
|
izkrivljen kvadrat |
{4, 3}3 | 6 | 4 | 3 | tetraeder |
| petrialni heksaeder | 
|
izkrivljen šestkotnik |
{6, 3}4 | 12 | 8 | 4 | heksaeder |
| petrialni oktaeder | 
|
izkrivljen šestkotnik |
{6, 4}3 | 12 | 6 | 4 | oktaeder |
| petrialni dodekaeder | 
|
izkrivljen desetkotnik |
{10, 3} | 30 | 20 | 6 | dodekaeder |
| petrialni ikozaeder | 
|
izkrivljen desetkotnik |
{10, 5} | 30 | 12 | 6 | ikozaeder |
| petrialni mali stelirani dodekaeder | 
|
izkrivljen šestkotnik |
{6, 5} | 30 | 12 | 10 | mali stelirani dodekaeder |
| petrialni veliki dodekaeder | 
|
izkrivljen šestkotnik |
{6, 5/2} | 30 | 12 | 10 | veliki dodekaeder |
| petrialni veliki stelirani dodekaeder | 
|
izkrivljen dekagram |
{10/3, 3} | 30 | 20 | 6 | veliki stelirani dodekaeder |
| petrialni veliki ikozaeder | 
|
izkrivljen dekagram |
{10/3, 5/2} | 20 | 30 | 6 | veliki ikozaeder |
| petrialno trikotno tlakovanje | 
|
šestdesetstopinjski cikcak | {∞, 6}3 | ∞ | ∞ | ∞ | trikotno tlakovanje |
| petrialno kvadratno tlakovanje | 
|
devetdesetstopinjski cikcak | {∞, 4}4 | ∞ | ∞ | ∞ | kvadratno tlakovanje |
| petrialno šestkotno tlakovanje | 
|
stodvajsetstopinjski cikcak | {∞, 3}6 | ∞ | ∞ | ∞ | šestkotno tlakovanje |
| petrialna mukocka | devetdesetstopinjski izkrivljeni cikcak | {∞, 6}4,4 | ∞ | ∞ | ∞ | mukocka | |
| petrialni muoktaeder | stodvajsetstopinjski izkrivljeni cikcak | {∞, 4}6,4 | ∞ | ∞ | ∞ | muoktaeder | |
| petrialni mutetraeder | stodavjsetstopinjski izkrivljeni cikcak | {∞, 6}6,3 | ∞ | ∞ | ∞ | mutetraeder |
Mešani apeiroedri (blended apeiroehedra)[uredi | uredi kodo]
“Mešani” apeiroedri so izpeljani iz pravilnih planarnih apeiroedrov (trikotno, kvadratno in šestkotno tlakovanje ter njihovi petriali). Pravilnih imen apeiroedrov v slovenščini še nimamo, zato so imena na tem seznamu le dobesedni prevod angleških.
“Mešani“ apeiroedri pomeni, da apeiroedri niso planarni, temveč so izkrivljeni v tretjo dimenzijo. To lahko naredimo na dva načina. Lahko periodično dvigujemo in nižamo oglišča (“mešanje s segmentom”), lahko pa celoten apeiroeder spiralno širimo v tretji dimenziji (“mešanje z apeirogonom”). Tako dobimo 12 različnih “mešanih” apeiroedrov.[1]
Mešani apeiroedri s procesom mešanja s segmentom (blended apeirohedra – blends with segments)[uredi | uredi kodo]
| Ime | Osnovna ploskev | Schläfliev simbol | Petrial |
|---|---|---|---|
| trikotni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom |
trikotnik? |
{3, 6} # {} | pertialni trikotni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom |
| kvadratni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom | izkrivljen kvadrat | {4,4} # {} | pertialni kvadratni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom |
| šestkotni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom | izkrivljen šestkotnik | {6, 3} # {} | pertialni šestkotni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom |
| pertialni trikotni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom | različni izkrivljeni
cikcaki |
{∞, 6}3 # {} | trikotni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom |
| pertialni kvadratni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom | {∞, 4}4 # {} | kvadratni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom | |
| pertialni šestkotni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom | {∞, 3}6 # {} | šestkotni mešani apeiroeder s procesom mešanja s segmentom |
Mešani apeiroedri s procesom mešanja z apeiroedrom[uredi | uredi kodo]
| Ime | Osnovna ploskev | Schläfliev simbol | Petrial |
|---|---|---|---|
| trikotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom | izkrivljen kvadrat | {3, 6} # {∞} | pertialni trikotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom |
| kvadratni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom | izkrivljen šestkotnik | {4,4} # {∞} | pertialni kvadratni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom |
| šestkotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom | izkrivljen desetkotnik | {6, 3} # {∞} | pertialni šestkotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom |
| pertialni trikotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom | šestdesetstopinjski ukrivljeni cikcak | {∞, 6}3 # {∞} | trikotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom |
| pertialni kvadratni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom | devetdesetstopinjski ukrivljeni cikcak | {∞, 4}4 # {∞} | kvadratni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom |
| pertialni šestkotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom | stodvajsetstopinjski ukrivljeni cikcak | {∞, 3}6 # {∞} | šestkotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom |
Čisti Grünbaum-Dress poliedri[uredi | uredi kodo]
To je šest najbolj kompleksnih in najtežje razumljivih pravilnih poliedrov. Vsi so neskončnih razsežnosti, pridobljeni pa so posredno ali neposredno iz petrie-coxeterjevih teles. Odkriti so bili leta 1997.[1]
| Ime | Osnovna ploskev | Schläfliev simbol | Petrial |
|---|---|---|---|
| razpolovljena mukocka | izkrivljen šestkotnik | {6, 6}4 | petrialna razpolovljena mukocka |
| petrialna razpolovljena mukocka | izkrivljen kvadrat | {4, 6}6 | razpolovljena mukocka |
| dual petrialne razpolovljene kocke | izkrivljen šestkotnik | {6, 4}6 | / |
| trihelično kvadratno tlakovanje | cikcak | {∞, 3} | tetrahelično trikotno tlakovanje |
| tetrahelično trikotno tlakovanje | cikcak | {∞, 3} | trihelično kvadratno tlakovanje |
| izkrivljeni muoktaeder | cikcak | {∞, 4}·,∗3 | / |
Viri[uredi | uredi kodo]
- ↑ 1,0 1,1 1,2 McMullen, P.; Schulte, E. (1. junij 1997). »Regular Polytopes in Ordinary Space«. Discrete & Computational Geometry (v angleščini). Zv. 17, št. 4. str. 449–478. doi:10.1007/PL00009304. ISSN 1432-0444.