Coxeterjev element

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Coxeterjev element ali Coxeterjevo število h je v matematiki red Coxeterjevega elementa, nereducibilne Coxeterjeve grupe ter tudi korenskega sistema ali njenih Weylovih grup.

Imenuje se po britansko-kanadskem matematiku in geometru Haroldu Scottu MacDonaldu Coxeterju (1907 – 2003) [1]

Definicija[uredi | uredi kodo]

Znanih je več načinov definiranja Coxeterjevega števila h za nereducibilni korenski sistem.

Coxeterjev element je zmnožek vseh enostavnih zrcaljenj. Zmnožek je odvisen od zaporedja v katerem ga uporabimo. Različna zaporedja dajo konjugirane elemente, ki imajo vsi isti red.

  • Coxeterjevo število je enako številu korenov deljenemu z rangom.
  • Coxeterjevo število je red Coxeterjevega elementa (vsi konjugirani elementi imajo isti red)
  • če je najvišji red ∑miαi za enostavne korene ai, potem je Coxeterjevo število 1 + ∑mi
  • razsežnost pripadajoče Liejeve algebre je n(h + 1), kjer je n rang in h je Coxeterjevo število
  • Coxeterjevo število je najvišja stopnja osnovnih invariant Weylove grupe delujoče na polinomih
  • Coxeterjeva števila so dana v naslednji preglednici
Coxeterjeva grupa Coxeterjevo število h dualno Coxeterjevo število stopnja osnovnih invariant
An CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png n + 1 n + 1 2, 3, 4, ..., n + 1
Bn CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 2n 2n − 1 2, 4, 6, ..., 2n
Cn n + 1
Dn CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.png...CDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 2n − 2 2n − 2 n; 2, 4, 6, ..., 2n − 2
E6 CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 12 12 2, 5, 6, 8, 9, 12
E7 CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 18 18 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E8 CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 30 30 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F4 CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 12 9 2, 6, 8, 12
G2 = I2(6) CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png 6 4 2, 6
H3 CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 10 2, 6, 10
H4 CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 30 2, 12, 20, 30
I2(p) CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png p 2, p

Coxeterjeva ravnina[uredi | uredi kodo]

Projekcija korenskega sistema E8 v Coxeterjevo ravnino, ki kaže 30-kratno simetrijo.

Za dan Coxeterjev element w obstoja ravnina P na kateri w deluje kot vrtenje za 2π/h. Imenujemo jo Coxeterjeva ravnina. Na njej ima P lastne vrednosti ei/h in e−2πi/h = ei(h−1)/h [2]

Coxeterjeva ravnina se pogosto uporablja za risanje diagramov s politopi, ki imajo višje razsežnosti in za korenske sisteme. To pomeni risanje oglišč in robov politopov ali korenov (in nekaterih robov, ki jih povezujejo) pravokotno projiciranih na Coxeterjevo ravnino, kar da Petrijeve mnogokotnike s h-kratno vrtilno simetrijo. Pri korenskih sistemih se noben koren ne preslika v nič.

Projekcije na Coxeterjevo ravnino so za Platonska telesa prikazane spodaj:

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Coxeter, Harold Scott Macdonald; Chandler Davis, Erlich W. Ellers (2006), The Coxeter Legacy: Reflections and Projections, AMS Bookstore, str. 112, ISBN 9780821837221 
  2. ^ (Humphreys 1992, Section 3.17, "Action on a Plane", pp. 76–78)

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]