Projekcija (linearna algebra)

Projekcija je v linearni algebri linearna transformacija $P \,$ iz vektorskega prostora v samega sebe tako, da je $P^2 = P \,$. Projekcija ohranja sliko nespremenjeno.

preslikava P je pravokotna projekcija na premico m.

Pravokotna projekcija

Pravokotna ali ortogonalna projekcija točk $(x, y, z) \,$ iz evklidskega prostora $R^3 \,$ na ravnino x-y lahko prikažemo z matriko

$P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$

Delovanje te projekcije na poljubno točko lahko zapišemo kot

$P \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}$.

Preslikava T je projekcija vzdolž k na premico m.

Poševna projekcija

Enostaven primer nepravokotne oziroma poševne projekcije točk na premico se lahko opiše z matriko

$T = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix}.$.

Lahko se pokaže, da je

$T^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} = T.$

to pa pomeni, da je $T \,$ res projekcija.

Projekcija $T \,$ je pravokotna samo, če in samo, če je $\alpha = 0 \,$.