Uniformni zvezdni polieder

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Uniformni zvezdni polieder je sebe sekajoč uniformni polieder. Imenujemo ga tudi nekonveksni polieder. Vsak polieder ima stranske ploskve, ki so zvezdni mnogokotniki, imajo za slike oglišč zvezdne mnogokotnike ali oboje.

Polna skupina 57 neprizmatičnih uniformnih poliedrov vključuje 4 pravilne, ki jih imenujemo Kepler-Poinsotovi poliedri, 5 je kvazipravilnih poliedrov in 48 je polpravilnih.

Razen tega obstoja še neskončna množica uniformnih zvezdnih prizem in uniformnih zvezdnih antiprizem. Tako kot neizrojeni zvezdni mnogokotniki, ki imajo mnogokotniško gostoto večjo od 1 in pripadajo krožnim mnogokotnikom s prekrivajočimi se ploščicami, zvezdni poliedri ne potekajo skozi središče in imajo politopsko gostoto večjo od 1, ter odgovarjajo sfernim poliedrom s prekrivajočimi se ploščicami. Obstoja 48 takšnih uniformnih zvezdnih poliedrov. Ostalih 9 neprizmatičnih uniformnih zvezdnih poliedrov, ki tečejo skozi središče, je polpoliedrov in ne odgovarjajo sfernim poliedrom, ker jim ne moremo na enoličen način projicirati središča na sfero.

Nekonveksne oblike se lahko konstruirajo s pomočjo Schwarzovih trikotnikov.

Mali prirezan ikozikozidodekaeder je uniformni zvezdni polieder s sliko oglišč 35.5/2
(3 3 2) trikotniki na sferi

Diedrska simetrija[uredi | uredi kodo]

Glej prizmatični uniformni polieder.

Tetraedrska simetrija[uredi | uredi kodo]

(3 3 2) trikotniki na sferi

Obstojata dve nekonveksni obliki. To sta tetrahemiheksaeder in octahemioktaeder, ki imata tetraedersko simetrijo z osnovno domeno Möbiusov trikotnik (3 3 2)).

Obstojata dva Schwarzovih trikotnikov, ki enolično generirajo nekonveksne uniformne poliedre: eden je pravokotni trikotnik (3/2 3 2) in en splošni trikotnik (3/2 3 3).

Razvrstitev oglišč
(Konveksna ogrinjača)
Nekonveksne oblike
Tetrahedron.png
tetraeder
 
Rectified tetrahedron.png
Rektificiran tetraeder
Oktaeder
Tetrahemihexahedron.png
Tetrahemiheksaeder4.3/2.4.3)
3/2 3 | 2
Truncated tetrahedron.png
Prisekan tetraeder
 
Cantellated tetrahedron.png
Kanteliran tetraeder
(kubooktaeder)
Octahemioctahedron 3-color.png
(6.3/2.6.3)
3/2 3 | 3
Uniform polyhedron-33-t012.png
Omniprisekan tetraeder
(Prisekan oktaeder)
 
Uniform polyhedron-33-s012.png
prirezan tetraeder
(Ikozaeder)
 

Oktaedrska simetrija[uredi | uredi kodo]

(4 3 2) trikotniki na sferi

Obstoja 8 konveksnih in 10 nekonveksnih oblik z oktaedersko simetrijo z osnovno domeno Möbiusovega trikotnika (4 3 2)).

Znani so štirje Schwarzovi trikotniki, ki nekonveksne oblike, od tega sta dva za pravokotne trikotnike (3/2 4 2) in (4/3 3 2) ter dva za splošne trikotnike: (4/3 4 3) in (3/2 4 4), ki generirajo nekonveksne oblike.

Razvrstitev oglišč
(Konveksna ogrinjača)
Nekonveksne oblike
Hexahedron.png
kocka
 
Octahedron.png
oktaeder
 
Cuboctahedron.png
kubooktaeder
Cubohemioctahedron.png
(6.4/3.6.4)
4/3 4 | 3
Truncated hexahedron.png
prisekana kocka
Great rhombihexahedron.png
(4.8/3.4/3.8/5)
2 4/3 (3/2 4/2) |
Great cubicuboctahedron.png
(8/3.3.8/3.4)
3 4 | 4/3
Uniform great rhombicuboctahedron.png
(4.3/2.4.4)
3/2 4 | 2
Truncated octahedron.png
prisekan oktaeder
 
Small rhombicuboctahedron.png
rombikubooktaeder
Small rhombihexahedron.png
(4.8.4/3.8)
2 4 (3/2 4/2) |
Small cubicuboctahedron.png
(8.3/2.8.4)
3/2 4 | 4
Stellated truncated hexahedron.png
(8/3.8/3.3)
2 3 | 4/3
Great truncated cuboctahedron convex hull.png
Neuniformni
prisekan kubooktaeder
Great truncated cuboctahedron.png
(4.6.8/3)
2 3 4/3 |
Cubitruncated cuboctahedron convex hull.png
Neuniformni
prisekan kubooktaeder
Cubitruncated cuboctahedron.png
(8/3.6.8)
3 4 4/3 |
Snub hexahedron.png
prirezana kocka
 

Ikozaedrska simetrija[uredi | uredi kodo]

(5 3 2) trikotniki na sferi

Znanih je 8 konveksnih in 46 nekonveksnih oblik z ikozaedersko simetrijo z osnovno domeno Möbiusovega trikotnika (5 3 2). Nekatere od prirezanih oblik imajo zrcalno ogliščno simetrijo.

Razvrstitev oglišč
(Konveksna ogrinjača)
Nekonveksne oblike
Icosahedron.png
ikozaeder
Great dodecahedron.png
{5,5/2}
Small stellated dodecahedron.png
{5/2,5}
Great icosahedron.png
{3,5/2}
Nonuniform truncated icosahedron.png
Neuniformni
prisekan ikozaeder
2 5 |3
Great truncated dodecahedron.png
U37
2 5/2 | 5
Great dodecicosidodecahedron.png
U61
5/2 3 | 5/3
Uniform great rhombicosidodecahedron.png
U67
5/3 3 | 2
Great rhombidodecahedron.png
U73
2 5/3 (3/2 5/4) |
Rhombidodecadodecahedron convex hull.png
Neuniformni
prisekan ikozaeder
2 5 |3
Rhombidodecadodecahedron.png
U38
5/2 5 | 2
Icosidodecadodecahedron.png
U44
5/3 5 | 3
Rhombicosahedron.png
U56
2 3 (5/4 5/2) |
Small snub icosicosidodecahedron convex hull.png
Neuniformni
prisekan ikozaeder
2 5 |3
Small snub icosicosidodecahedron.png
U32
| 5/2 3 3
Icosidodecahedron.png
Icosidodecahedron
2 | 3 5
Small icosihemidodecahedron.png
U49
3/2 3 | 5
Small dodecahemidodecahedron.png
U51
5/4 5 | 5
Great icosidodecahedron.png
U54
2 | 3 5/2
Great dodecahemidodecahedron.png
U70
5/3 5/2 | 5/3
Great icosihemidodecahedron.png
U71
3 3 | 5/3
Dodecadodecahedron.png
U36
2 | 5 5/2
Small dodecahemicosahedron.png
U62
5/3 5/2 | 3
Great dodecahemicosahedron.png
U65
5/4 5 | 3
Truncated dodecahedron.png
prisekan dodekaeder
2 3 | 5
Great ditrigonal dodecicosidodecahedron.png
U42
Great icosicosidodecahedron.png
U48
Great dodecicosahedron.png
U63
Small retrosnub icosicosidodecahedron convex hull.png
Neuniformni
prisekan dodekaeder
Small retrosnub icosicosidodecahedron.png
U72
Dodecahedron.png
dodekaeder
Great stellated dodecahedron.png
{5/2,3}
Small ditrigonal icosidodecahedron.png
U30
Ditrigonal dodecadodecahedron.png
U41
Great ditrigonal icosidodecahedron.png
U47
Small rhombicosidodecahedron.png
rombiikozidodekaeder
Small dodecicosidodecahedron.png
U33
Small rhombidodecahedron.png
U39
Small stellated truncated dodecahedron.png
U58
Truncated great icosahedron convex hull.png
Beveled
Dodecahedron
Great truncated icosahedron.png
U55
Nonuniform-rhombicosidodecahedron.png
Neuniformni
rombiikozidodekaeder
Small icosicosidodecahedron.png
U31
Small ditrigonal dodecicosidodecahedron.png
U43
Small dodecicosahedron.png
U50
Great stellated truncated dodecahedron.png
U66
Nonuniform2-rhombicosidodecahedron.png
Neuniformni
rombiikozidodekaeder
Great dirhombicosidodecahedron.png
U75
Great snub dodecicosidodecahedron.png
U64
Great disnub dirhombidodecahedron.png
Skillingova oblika
(glej spodaj)
Icositruncated dodecadodecahedron convex hull.png
Neuniformni
prisekan ikozidodekaeder
Icositruncated dodecadodecahedron.png
U45
Truncated dodecadodecahedron convex hull.png
Neuniformni
prisekan ikozidodekaeder
Truncated dodecadodecahedron.png
U59
Great truncated icosidodecahedron convex hull.png
Neuniformni
prisekan ikozidodekaeder
Great truncated icosidodecahedron.png
U68
Snub dodecahedron ccw.png
Neuniformni
prirezan dodekaeder
Snub dodecadodecahedron.png
U40
Snub icosidodecadodecahedron.png
U46
Great snub icosidodecahedron.png
U57
Great inverted snub icosidodecahedron.png
U69
Inverted snub dodecadodecahedron.png
U60
Great retrosnub icosidodecahedron.png
U74

Skillingova oblika[uredi | uredi kodo]

Eden izmed ostalih nekonveksnih poliedrov je veliki diprirezan dirombidodekaeder, ki je znan kot Skillingova oblika. Je ogliščno uniformen. Pari robov sovpadajo v prostoru. Štiri stranske ploskve se tako srečajo na istem robu. Ima simetrijo Ih.

Great disnub dirhombidodecahedron.png

Izrojene oblike[uredi | uredi kodo]

Coxeter (1907-2003) je našel večje število izrojenih zvezdnih poliedrov s pomočjo Wythoffove konstrukcije. Ti poliedri vsebujejo prekrivajoče se robove in oglišča. Takšni izrojeni obliki sta:

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]