Prirezani dodekaeder

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Prirezani dodekaeder
Snubdodecahedronccw.jpg
(animacija)
vrsta arhimedsko telo
uniformni polieder
elementi F = 92, E = 150,
V = 60 (χ = 2)
stranske ploskve na stran (20 + 60){3} + 12{5}
Conwayjev zapis sD
Schläflijevi simboli sr{5,3} ali
ht0,1,2{5,3}
Wythoffov simbol | 2 3 5
Coxeter-Dinkinov diagram CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
simetrija I, 1/2H3, [5,3]+, (*532), red 60
vrtilna grupa I, [5,3]+, (532), red 60
diedrski kot 3-3: 164°10′31″ (164,18°)
3-5: 152°55′53″ (152,93°)
sklici U29, C32, W18
značilnosti konveksen
polpravilen
kiralen
Snub dodecahedron ccw.png
obarvane stranske ploskve
Snub dodecahedron vertfig.png
3.3.3.3.5
(slika oglišč)
Pentagonalhexecontahedronccw.jpg petstrani heksekontaeder
(dualni polieder)
Snub dodecahedron flat.svg
mreža telesa

Prirezani dodekaeder (ali prirezani ikozidodekaeder) je v geometriji konveksni polieder. Je arhimedsko telo, eno od trinajstih konveksnih izogonalnih neprizmatičnih teles skonstruirano z dvema ali več vrstami pravilnih mnogokotniških stranskih ploskev.

Ima dvaindevetdeset pravilnih stranskih ploskev, od tega osemdeset enakostraničnotrikotniških in dvanajst petkotniških, ter 150 robov in 60 oglišč.

Spada med kiralne poliedre z dvema različnima oblikama, ki sta zrcalni sliki (ali enanciomorfni druga drugi). Edini kiralni arhimedski telesi sta prirezana kocka in prirezani dodekaeder.

Unija obeh oblik je sestav dveh prirezanih dodekaedrov, konveksna ogrinjača obeh oblik pa je prisekani ikozidodekaeder.

Druga imena[uredi | uredi kodo]

Johannes Kepler je najprej imenoval telo v latinščini kot dodecahedron simum leta 1619 v svoji knjigi Ubranost sveta (Harmonices Mundi). Harold S. M. Coxeter je opazil, da se lahko telo skonstruira enakovredno iz dodekaedra ali ikozaedra, in ga je imenoval prirezani ikozidodekaeder (snub icosidodecahedron), z navpičnim razširjenim Schläflijevim simbolom .

Kartezične koordinate[uredi | uredi kodo]

Kartezične koordinate za oglišča prirezanega dodekaedra s središčem v izhodišču so vse sode permutacije

(±2α, ±2, ±2β),
(±(α + β/φ + φ), ±(−αφ + β + 1/φ), ±(α/φ + βφ − 1)),
(±(α + β/φ − φ), ±(αφ − β + 1/φ), ±(α/φ + βφ + 1)),
(±(−α/φ + βφ + 1), ±(−α + β/φ − φ), ±(αφ + β − 1/φ)) and
(±(−α/φ + βφ − 1), ±(α − β/φ − φ), ±(αφ + β + 1/φ)),

s sodim številom znakov za seštevanje, kjer je:

α = ξ − 1/ξ

in

β = ξφ + φ2 + φ/ξ,

kjer je število zlatega reza in ξ realna rešitev enačbe ξ3 − 2ξ = φ, ki je število:

Dolžina roba prirezanega dodekaedra je enaka približno 6,0437380841.

Če se vzamejo lihe permutacije zgornjih koordinat s sodim številom znakov za seštevanje, se dobi druga oblika, enanciomorfna drugi obliki. Čeprav ni takoj očitno, je oblika, dobljena s sodimi permutacijami s sodim številom znakov za seštevanje, enaka kot tista, dobljena z lihimipermutacijami s sodim številom znakov za seštevanje. Podobno ima zrcalna slika ali liho permutacijo s sodim številom znakov za seštevanje ali sodo permutacijo z lihim številom znakov za seštevanje.

Površina in prostornina[uredi | uredi kodo]

Razvijanje rombiikozidodekaedra v prirezani dodekaeder

Površina P prirezanega dodekaedra z dolžino roba 1 je enaka:

prostornina V pa:

kjer je φ število zlatega reza.

Prirezani dodekaeder ima najvišjo sfernost (približno 0,982) med vsemi arhimedskimi telesi.

Pravokotne projekcije[uredi | uredi kodo]

Prirezani dodekaeder ima tri posebne pravokotne projekcije usrediščene na rob in dve vrsti stranskih ploskev (enakostranični trikotniki in petkotniki). Zadnji dve odgovarjata Coxeterjevima ravninama A2 in H2s.

Pravokotne projekcije
usrediščeno na rob stransko ploskev
enakostranični trikotnik
stransko ploskev –
petkotnik
slika Snub dodecahedron e1.png Snub dodecahedron A2.png Snub dodecahedron H2.png
projektivna
simetrija
[2] [3] [5]+
petstrani
heksekontaeder
Dual snub dodecahedron e1.png Dual snub dodecahedron A2.png Dual snub dodecahedron H2.png

Geometrijski odnosi[uredi | uredi kodo]

Prirezani dodekaeder lahko nastane, če se vzame dvanajst petkotniških stranskih ploskev dodekaedra in se jih razširi navzven, da se ne stikajo več. Na ustrezni razdalji nastane rombiikozidodekaeder, če se razdeljeni robovi zapolnijo s kvadrati in razdeljena oglišča z enakostraničnimi trikotniki. Da nastane prirezani dodekaeder, je treba dodati trikotniške stranske ploskve in pustiti prazne kvadratne vrzeli. Potem se izvede enak zasuk središč petkotnikov in enakostraničnih trikotnikov, in se nadaljuje z zasukom dokler se vrzeli lahko zapolnijo z dvema enakostraničnimi trikotnikoma.

Dodecahedron.png
Dodekaeder
 
Small rhombicosidodecahedron.png
Rombiikozidodekaeder
(razširjeni dodekaeder)
Snub dodecahedron cw.png
Prirezani dodekaeder
 

Prirezani dodekaeder se lahko skonstruira tudi iz prisekanega ikozidodekaedra z alternacijo. Šestdeset oglišč prisekanega ikozidodekaedra tvori polieder, ki je topološko enakovreden prirezanemu dodekaedru; preostalih šestdeset tvori njegovo zrcalno obliko. Nastali polieder je ogliščnoprehoden, ni pa uniformen, ker njegovi robovi nimajo enakih dolžin – tako da je potrebna dodatna deformacija, da se ga pretvori v uniformni polieder.

Sorodni poliedri in tlakovanja[uredi | uredi kodo]

Ta polpravilni polieder je član zaporedja prirezanih poliedrov s sliko oglišča (3.3.3.3.n) in Coxeter-Dinkinovim diagramom CDel node h.pngCDel n.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png. Te oblike in njihovi duali imajo rotacijsko simetrijo (n32), v evklidski ravnini za n = 6, in v hiperbolični ravnini za poljubni višji n. Zaporedje se lahko začne z n = 2, kjer je ena množica stranskih ploskev izrojena v dvokotnike.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]