Geometrija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search
Geometrijske tabele iz Ciklopedije (1728)

Geometríja je znanstvena disciplina matematike, ki se ukvarja s prostorskimi značilnostmi teles in njihovimi medsebojnimi odnosi. Geometrija je zgrajena na sestavu aksiomov, izkustveno ali intuitivno določenih značilnosti prostora, ki jih ne moremo dokazati z osnovnejšimi zakonitostmi. Geometrija je ena najstarejših znanosti.

Zemljemerstvo[uredi | uredi kodo]

Prve začetke geometrije lahko najdemo v Mezopotamiji, Egiptu (Rhindov papirus, Moskovski papirus) in v dolini Inda okoli leta 3000 pr. n. št. Ta geometrija je bila predvsem praktično usmerjena. Preučevala je probleme povezane z zemljemerstvom. Tudi sama beseda geometrija izvira iz grških besed γη [ge] (starejša oblika: γαία [gaja]) = zemlja + μετρία [metria] = merjenje. V današnjem času se za zemljemerstvo uporablja besedo geodezija, sodobna geometrija pa je matematična panoga, ki ni več povezana z dejanskim merjenjem zemlje.

Pomembni koncepti geometrije[uredi | uredi kodo]

Aksiom[uredi | uredi kodo]

Evklid je v svojih Elementih[1], ki je ena najvplivnejših knjig napisana doslej, uporabil abstraktni pristop k geometriji.[2] Uvedel je določene aksiome ali postulate, ki izražajo primarne ali samoumevne lastnosti točk, črt in ravnin.[3] Z matematičnim sklepanjem je izpeljal druge lastnosti. Značilna lastnost Evklidovega pristopa k geometriji je bila njegova strogost, ki je postala znana kot aksiomatska ali sintetična geometrija.[4] V začetku 19. stoletja je odkritje neevklidskih geometrij Nikolaja Ivanoviča Lobačevskega (1792–1856), Jánosa Bolyaija (1802–1860), Carla Friedricha Gaussa (1777–1855) in drugih[5] privedlo do oživitve zanimanje za to disciplino, v 20. stoletju pa je David Hilbert (1862–1943) uporabil aksiomatsko sklepanje, da bi postavil sodoben temelj geometrije.[6]

Točka[uredi | uredi kodo]

Točke veljajo za temeljne objekte v evklidski geometriji. Definirane so bile na različne načine, vključno z Evklidovo definicijo 'tisto, kar nima delov.'[7] in z uporabo algebre ali gnezdenih množic.[8] Na mnogih področjih geometrije, kot so analitična geometrija, diferencialna geometrija in topologija, velja, da so vsi objekti zgrajeni iz točk.

Premica[uredi | uredi kodo]

Premico je Evklid opisal kot "dolžina brez širine".[7] V sodobni matematiki je glede na množico geometrij pojem premice tesno povezan z opisom geometrije. Na primer, v analitični geometriji je premica v ravnini pogosto definirana kot množica točk, katerih koordinate ustrezajo dani linearni enačbi[9], v bolj abstraktnem okolju, kot je incidenčna geometrija, pa je premica lahko neodvisen objekt, ločen od množice točk, ki na njem ležijo.[10] V diferencialni geometriji je geodetka posplošitev pojma premice za »ukrivljene prostore«.[11]

Ravnina[uredi | uredi kodo]

Ravnina je ravna, dvodimenzionalna površina, ki sega neskončno daleč.[7] Ravnine se uporabljajo na vseh geometrijskih področjih. Na primer, ravnine lahko preučujemo kot topološko ploskev brez sklicevanja na razdalje ali kote;[12] lahko jih preučujemo kot afine ravnine, kjer je mogoče preučevati kolinearnost in razmerja, ne pa tudi razdalj;[13] lahko preučujemo kompleksna ravnina s tehnikami kompleksne analize;[14] itd.

Kot[uredi | uredi kodo]

Evklid je definiral ravninski kot kot medsebojni naklon dveh črt v ravnini, ki se srečata in ne ležita vzporedno.[15] V sodobnem smislu je kot lik, ki ga tvorita dva poltraka, imenovana stranice kota, ki imata skupno končno točko, imenovano vrh kota.[16]

Ostri (a), topi (b) in iztegnjeni (c) koti. Ostri in topi koti so znani tudi kot poševni koti.

V evklidski geometriji se koti uporabljajo za preučevanje mnogokotnikov in trikotnikov.[17] Študija kotov trikotnika ali kotov v enotski krožnici je osnova trigonometrije.[18]

V diferencialni geometriji in infinitezimalnem računu lahko kote med ravninskimi krivuljami ali prostorskimi krivuljami ali površinami izračunamo z odvodom.[19][20]

Krivulja[uredi | uredi kodo]

Krivulja je enodimenzionalni objekt, ki je lahko raven (kot črta) ali ne; krivulje v dvodimenzionalnem prostoru imenujemo ravninske krivulje, tiste v tridimenzionalnem prostoru pa prostorske krivulje.[21]

Površina[uredi | uredi kodo]

Krogla je površina, ki jo je mogoče opredeliti parametrično (z x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ) ali implicitno (z x2 + y2 + z2r2 = 0.)

Površina je dvodimenzionalni objekt, na primer krogla ali paraboloid.[22] V diferencialni geometriji[23] in topologiji,[24] so površine opisane z dvodimenzionalnimi okolicami, ki so sestavljene z difeomorfizmi ali homeomorfizmi. V algebrski geometriji so površine opisane s polinomskimi enačbami.[25]

Mnogoterost[uredi | uredi kodo]

Mnogoterost je posploševanje konceptov krivulje in površine. V topologiji je mnogoterost topološki prostor, kjer ima vsaka točka okolico, ki je homeomorfna evklidskemu prostoru.[26] V diferencialni geometriji je diferenciabilna mnogoterost prostor, v katerem je vsaka okolica difeomorfna v evklidskem prostoru.[27]

Mnogoterosti se pogosto uporabljajo v fiziki, v splošni teoriji relativnosti in teoriji strun.[28]

Dolžina, površina in prostornina[uredi | uredi kodo]

Dolžina, površina in prostornina opisujejo velikost ali obseg predmeta v eni, dveh dimenzijah ali treh dimenzijah.[29]

V evklidski in analitični geometriji lahko dolžino dela črte pogosto izračunamo s Pitagorjevim izrekom.[30]

Površino in prostornino lahko opredelimo kot temeljne količine ločeno od dolžine, ali pa jih opišemo in izračunamo glede na dolžine v ravnini ali v tridimenzionalnem prostoru.[31] Matematiki so iznašli veliko eksplicitnih formul za površino in formul za prostornino različnih geometrijskih objektov. V Infinitezimalnem računu lahko površino in prostornino definiramo v smislu integralov, kot sta Riemannov integral[32] ali Lebesgueov integral.[33]

Meritve in mere[uredi | uredi kodo]

Glavna članka: Metrika in Mera (matematika).

Koncept dolžine ali razdalje je mogoče posplošiti, kar je vodilo v idejo o metrikah.[34] Na primer, evklidska metrika meri razdaljo med točkami v evklidski ravnini, medtem ko hiperbolična metrika meri razdaljo v hiperbolični ravnini. Drugi pomembni primeri meritev vključujejo Lorentzovo metriko posebne relativnosti in pol-Riemannovo metriko splošne relativnosti.[35]

V drugi smeri se koncepti dolžine, površine in prostornine razširijo s teorijo mere, ki preučuje metode dodeljevanja velikosti ali mere množicam, pri čemer mere sledijo pravilom, podobnim tistim pri klasični površini in prostornini.[36]

Skladnost in podobnost[uredi | uredi kodo]

Skladnost in podobnost sta pojma, ki opisujeta, kdaj imata dve obliki podobne lastnosti.[37] V evklidski geometriji se podobnost uporablja za opis objektov enake oblike, medtem ko se za opis objektov, ki so po velikosti in obliki enaki, uporablja skladnost.[38] Hilbert je v svojem delu o ustvarjanju strožjih temeljev za geometrijo obravnaval skladnost kot nedefiniran izraz, katerega lastnosti so opredeljene z aksiomi.

Skladnost in podobnost sta posplošeni v transformacijski geometriji, ki preučuje lastnosti geometrijskih objektov, ki jih ohranjajo različne vrste transformacij.[39]

Konstrukcije z ravnilom in šestilom[uredi | uredi kodo]

Klasični geometri so posebno pozornost namenili konstruiranju geometrijskih objektov, ki so bili opisani na kakšen drug način. Klasično sta edina instrumenta, dovoljena v geometrijskih konstrukcijah, šestilo in ravnilo. Prav tako je morala biti vsaka konstrukcija dokončana v omejenem številu korakov. Vendar se je izkazalo, da je bilo s temi orodji težko ali nemogoče rešiti nekatere težave.

Dimenzija[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Dimenzija.

Kjer je tradicionalna geometrija dovoljevala dimenzije 1 (premica), 2 (ravnina) in 3 (naš okoliški svet, ki smo si ga zamislili kot trirazsežni prostor), so matematiki in fiziki že skoraj dve stoletji uporabljali višje dimenzije.[40] Eden od primerov matematične uporabe višjih dimenzij je konfiguracijski prostor fizikalnega sistema, ki ima dimenzijo, ki je enaka prostostni stopnji sistema. Na primer, konfiguracijo vijaka lahko opišemo s petimi koordinatami.[41]

V splošni topologiji je bil koncept dimenzije razširjen iz naravnih števil na neskončno dimenzijo (na primer Hilbertovi prostori) in pozitivna realna števila (v fraktalni geometriji).[42] V algebrski geometriji je dimenzija algebrske varietete dobila številne na videz različne definicije, ki so si najpogosteje med seboj enakovredne.[43]

Vizualno preverjanje Pitagorjevega izreka za (3, 4, 5) trikotnik kot v besedilu Zhoubi Suanjing 500-200 pr.n.št. Pitagorin izrek je posledica evklidske metrike.

Ostalo[uredi | uredi kodo]

Sodobna geometrija[uredi | uredi kodo]

Evklidska geometrija[uredi | uredi kodo]

Glavna članka: Evklid in Evklidska geometrija.

Za očeta sodobne matematične geometrije velja Evklid iz Aleksandrije. Njegovo delo Elementi je lahko še danes zgled za znanstveni način pisanja. Evklid je izhajal iz majhnega števila očitnih resnic, ki jih je imenoval aksiomi oziroma postulati. Na podlagi teh je potem postopoma izpeljal vse bolj zapletene značilnosti.

Evklidska geometrija je dolga stoletja veljala za edino geometrijo sploh in je še danes nezamenljivi temelj vsakega resnega geometrijskega dela.

Evklidska geometrija zajema naslednja poglavja oziroma téme:

Neevklidska geometrija[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Neevklidska geometrija.

V 19. stoletju so se pojavile prve ideje o geometriji, ki bi slonela na drugačnih osnovah kot evklidska geometrija.

Nikolaj Ivanovič Lobačevski in János Bolyai sta odkrila hiperbolično geometrijo, v kateri skozi dano točko T, ki ne leži na premici p, poteka neskončno mnogo vzporednic k premici p.

Bernhard Riemann pa je odkril eliptično geometrijo, v kateri vzporednice sploh ne obstajajo.

Analitična geometrija[uredi | uredi kodo]

Naslovnica prve izdaje Descartesove La Geometrie (1637)

Dolga stoletja je bila geometrija povsem ločena od aritmetike. Med geometrijskimi pojmi kot so točke, premice ipd. in števili ni bilo prave povezave. Šele v 17. stoletju je René Descartes izumil najpomembnejšo povezavo med geometrijo in aritmetiko: kartezični koordinatni sistem.

Koordiantni sistem omogoča, da lego točke opišemo s števili in potem s temi računamo. Premice in krivulje pa opišemo z enačbami.

Uvedba koordinatnega sistema je imela za posledico razvoj matematične analize, zlasti infinitezimalnega računa. Od takrat naprej se geometrija deli še na dve vrsti:

Elementarna geometrija[uredi | uredi kodo]

Elementarna geometrija obravnava probleme, ki se jih rešuje na klasični način – brez uporabe orodij matematične analize (odvod, integral ipd.).

V elementarno geometrijo sodijo zlasti značilnosti likov, ki so jih preučevali že antični geometri.

Višja geometrija[uredi | uredi kodo]

Višja geometrija obravnava probleme, ki se jih rešuje z uporabo orodij matematične analize (odvod, integral ipd.).

V višjo geometrijo sodijo naslednji problemi:

  • računanje dolžine loka splošne krivulje,
  • računanje ploščine lika omejenega s krivuljami,
  • računanje površine splošne ploskve,
  • računanje prostornine telesa omejenega s krivimi ploskvami.

Afina in projektivna geometrija[uredi | uredi kodo]

Že Leonhard Euler (18. stoletje) je premišljeval o posplošitvi geometrije. Njegova odkritja so pripeljala do odkritja afine geometrije. Nadaljnjo posplošitev imenujemo projektivna geometrija. Njene temelje sta postavila Gérard Desargues in Jean-Victor Poncelet.

Danes velja projektivna geometrija za najsplošnejšo geometrijo, ki zajema evklidsko in tudi neevklidske geometrije. Skupna značilnost vseh geometrij, ki jih zajema, je homogenost – gre za geometrije, ki so povsod enake: v okolici poljubne točke veljajo iste značilnosti.

Mnogoterosti[uredi | uredi kodo]

Še splošnejša geometrija se je razvila iz preučevanja značilnosti ploskev. Ukrivljena oziroma neravna ploskev ima v okolici različnih točk lahko različne geometrijske značilnosti. Kmalu po tem se je pojavila ideja o ukrivljenem oziroma neravnem prostoru, za katerega velja isto.

Geometrijske značilnosti posplošenega n-razsežnega neravnega prostora preučuje geometrija mnogoterosti. Albert Einstein je izoblikoval svojo splošno teorijo relativnosti na zamisli o ukrivljenem prostor-času.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

  • Geometridae (slovensko: pedici), družina nočnih metuljev

Sklici[uredi | uredi kodo]

  1. Victor J. Katz (21 September 2000). Using History to Teach Mathematics: An International Perspective. Cambridge University Press. str. 45–. ISBN 978-0-88385-163-0.
  2. David Berlinski (8 April 2014). The King of Infinite Space: Euclid and His Elements. Basic Books. ISBN 978-0-465-03863-3.
  3. Robin Hartshorne (11 November 2013). Geometry: Euclid and Beyond. Springer Science & Business Media. str. 29–. ISBN 978-0-387-22676-7.
  4. Pat Herbst; Taro Fujita; Stefan Halverscheid; Michael Weiss (16 March 2017). The Learning and Teaching of Geometry in Secondary Schools: A Modeling Perspective. Taylor & Francis. str. 20–. ISBN 978-1-351-97353-3.
  5. I.M. Yaglom (6 December 2012). A Simple Non-Euclidean Geometry and Its Physical Basis: An Elementary Account of Galilean Geometry and the Galilean Principle of Relativity. Springer Science & Business Media. str. 6–. ISBN 978-1-4612-6135-3.
  6. Audun Holme (23 September 2010). Geometry: Our Cultural Heritage. Springer Science & Business Media. str. 254–. ISBN 978-3-642-14441-7.
  7. 7,0 7,1 7,2 Euclid's Elements – All thirteen books in one volume, Based on Heath's translation, Green Lion Press ISBN 1-888009-18-7.
  8. Clark, Bowman L. (Jan 1985). "Individuals and Points". Notre Dame Journal of Formal Logic. 26 (1): 61–75. doi:10.1305/ndjfl/1093870761.
  9. John Casey (1885). Analytic Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections.
  10. Buekenhout, Francis (1995), Handbook of Incidence Geometr: Buildings and Foundations, Elsevier B.V.
  11. "geodesic – definition of geodesic in English from the Oxford dictionary". OxfordDictionaries.com. Arhivirano iz prvotnega spletišča dne 15 July 2016. Pridobljeno dne 2016-01-20.
  12. Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.
  13. Szmielew, Wanda. 'From affine to Euclidean geometry: An axiomatic approach.' Springer, 1983.
  14. Ahlfors, Lars V. Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. New York, London (1953).
  15. Euclid's Elements – All thirteen books in one volume, Based on Heath's translation, Green Lion Press ISBN 1-888009-18-7.
  16. Sidorov, L.A. (2001) [1994]. "Angle". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.
  17. Euclid's Elements – All thirteen books in one volume, Based on Heath's translation, Green Lion Press ISBN 1-888009-18-7.
  18. Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevič, and Mark Saul. "Trigonometry." 'Trigonometry'. Birkhäuser Boston, 2001. 1–20.
  19. Stewart, James (2012). Calculus: Early Transcendentals, 7th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-538-49790-9
  20. Jost, Jürgen (2002). Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42627-1..
  21. Baker, Henry Frederick. Principles of geometry. Vol. 2. CUP Archive, 1954.
  22. Briggs, William L., and Lyle Cochran Calculus. "Early Transcendentals." ISBN 978-0-321-57056-7.
  23. Do Carmo, Manfredo Perdigao, and Manfredo Perdigao Do Carmo. Differential geometry of curves and surfaces. Vol. 2. Englewood Cliffs: Prentice-hall, 1976.
  24. Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.
  25. Mumford, David (1999). The Red Book of Varieties and Schemes Includes the Michigan Lectures on Curves and Their Jacobians (2nd izd.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-63293-1. Zbl 0945.14001.
  26. Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.
  27. Do Carmo, Manfredo Perdigao, and Manfredo Perdigao Do Carmo. Differential geometry of curves and surfaces. Vol. 2. Englewood Cliffs: Prentice-hall, 1976.
  28. Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions. Basic Books. ISBN 978-0-465-02023-2.
  29. Steven A. Treese (17 May 2018). History and Measurement of the Base and Derived Units. Springer International Publishing. str. 101–. ISBN 978-3-319-77577-7.
  30. James W. Cannon (16 November 2017). Geometry of Lengths, Areas, and Volumes. American Mathematical Soc. str. 11. ISBN 978-1-4704-3714-5.
  31. Steven A. Treese (17 May 2018). History and Measurement of the Base and Derived Units. Springer International Publishing. str. 101–. ISBN 978-3-319-77577-7.
  32. Gilbert Strang (1 January 1991). Calculus. SIAM. ISBN 978-0-9614088-2-4.
  33. H. S. Bear (2002). A Primer of Lebesgue Integration. Academic Press. ISBN 978-0-12-083971-1.
  34. Dmitri Burago, Yu D Burago, Sergei Ivanov, A Course in Metric Geometry, American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2129-6.
  35. Wald, Robert M. (1984). General Relativity. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-87033-5.
  36. Terence Tao (14 September 2011). An Introduction to Measure Theory. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-6919-2.
  37. Shlomo Libeskind (12 February 2008). Euclidean and Transformational Geometry: A Deductive Inquiry. Jones & Bartlett Learning. str. 255. ISBN 978-0-7637-4366-6.
  38. Mark A. Freitag (1 January 2013). Mathematics for Elementary School Teachers: A Process Approach. Cengage Learning. str. 614. ISBN 978-0-618-61008-2.
  39. George E. Martin (6 December 2012). Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-5680-9.
  40. Mark Blacklock (2018). The Emergence of the Fourth Dimension: Higher Spatial Thinking in the Fin de Siècle. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-875548-7.
  41. Charles Jasper Joly (1895). Papers. The Academy. str. 62–.
  42. Roger Temam (11 December 2013). Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. Springer Science & Business Media. str. 367. ISBN 978-1-4612-0645-3.
  43. Bill Jacob; Tsit-Yuen Lam (1994). Recent Advances in Real Algebraic Geometry and Quadratic Forms: Proceedings of the RAGSQUAD Year, Berkeley, 1990-1991. American Mathematical Soc. str. 111. ISBN 978-0-8218-5154-8.