Geometrija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Geometrijske tabele iz Ciklopedije (1728)

Geometríja je znanstvena disciplina matematike, ki se ukvarja s prostorskimi značilnostmi teles in njihovimi medsebojnimi odnosi. Geometrija je zgrajena na sestavu aksiomov, izkustveno ali intuitivno določenih značilnosti prostora, ki jih ne moremo dokazati z osnovnejšimi zakonitostmi. Geometrija je ena najstarejših znanosti.

Zemljemerstvo[uredi | uredi kodo]

Prve začetke geometrije lahko najdemo v Mezopotamiji, Egiptu (Rhindov papirus, Moskovski papirus) in v dolini Inda okoli leta 3000 pr. n. št. Ta geometrija je bila predvsem praktično usmerjena. Preučevala je probleme povezane z zemljemerstvom. Tudi sama beseda geometrija izvira iz grških besed γη [ge] (starejša oblika: γαία [gaja]) = zemlja + μετρία [metria] = merjenje. V današnjem času se za zemljemerstvo uporablja besedo geodezija, sodobna geometrija pa je matematična panoga, ki ni več povezana z dejanskim merjenjem zemlje.

Evklid[uredi | uredi kodo]

Glavna članka: Evklid in Evklidska geometrija.

Za očeta sodobne matematične geometrije velja Evklid iz Aleksandrije. Njegovo delo Elementi je lahko še danes zgled za znanstveni način pisanja. Evklid je izhajal iz majhnega števila očitnih resnic, ki jih je imenoval aksiomi oziroma postulati. Na podlagi teh je potem postopoma izpeljal vse bolj zapletene značilnosti.

Evklidska geometrija je dolga stoletja veljala za edino geometrijo sploh in je še danes nezamenljivi temelj vsakega resnega geometrijskega dela.

Evklidska geometrija zajema naslednja poglavja oziroma téme:

Planimetrija[uredi | uredi kodo]

Planimetrija ali ravninska geometrija govori o delih ravnine – ravninskih likih. Temeljni pojmi ravninske geometrije so:

Stereometrija[uredi | uredi kodo]

Stereometrija ali prostorska geometrija govori o delih prostora – prostorskih telesih. Temeljni pojmi prostorske geometrije so:

Trigonometrija[uredi | uredi kodo]

Geometrija je bila dolgo časa usmerjena zlasti v risanje (geometrijske kostrukcije), šele pozneje se je močno povečalo zanimanje za računsko geometrijo. Zelo pomemben del računske geometrije je trigonometrija, ki obravnava postopke za računanje dolžin stranic in velikosti kotov v trikotniku.

Sodobna trigonometrija se je lahko razvila šele po uvedbi kotnih funkcij. Glavna izreka trigonometrije sta sinusni in kosinusni izrek.

Neevklidska geometrija[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Neevklidska geometrija.

V 19. stoletju so se pojavile prve ideje o geometriji, ki bi slonela na drugačnih osnovah kot evklidska geometrija.

Nikolaj Ivanovič Lobačevski in János Bolyai sta odkrila hiperbolično geometrijo, v kateri skozi dano točko T, ki ne leži na premici p, poteka neskončno mnogo vzporednic k premici p.

Bernhard Riemann pa je odkril eliptično geometrijo, v kateri vzporednice sploh ne obstajajo.

Analitična geometrija[uredi | uredi kodo]

Naslovnica prve izdaje Descartesove La Geometrie (1637)

Dolga stoletja je bila geometrija povsem ločena od aritmetike. Med geometrijskimi pojmi kot so točke, premice ipd. in števili ni bilo prave povezave. Šele v 17. stoletju je René Descartes izumil najpomembnejšo povezavo med geometrijo in aritmetiko: kartezični koordinatni sistem.

Koordiantni sistem omogoča, da lego točke opišemo s števili in potem s temi računamo. Premice in krivulje pa opišemo z enačbami.

Uvedba koordinatnega sistema je imela za posledico razvoj matematične analize, zlasti infinitezimalnega računa. Od takrat naprej se geometrija deli še na dve vrsti:

Elementarna geometrija[uredi | uredi kodo]

Elementarna geometrija obravnava probleme, ki se jih rešuje na klasični način – brez uporabe orodij matematične analize (odvod, integral ipd.).

V elementarno geometrijo sodijo zlasti značilnosti likov, ki so jih preučevali že antični geometri.

Višja geometrija[uredi | uredi kodo]

Višja geometrija obravnava probleme, ki se jih rešuje z uporabo orodij matematične analize (odvod, integral ipd.).

V višjo geometrijo sodijo naslednji problemi:

  • računanje dolžine loka splošne krivulje,
  • računanje ploščine lika omejenega s krivuljami,
  • računanje površine splošne ploskve,
  • računanje prostornine telesa omejenega s krivimi ploskvami.

Afina in projektivna geometrija[uredi | uredi kodo]

Že Leonhard Euler (18. stoletje) je premišljeval o posplošitvi geometrije. Njegova odkritja so pripeljala do odkritja afine geometrije. Nadaljnjo posplošitev imenujemo projektivna geometrija. Njene temelje sta postavila Gérard Desargues in Jean-Victor Poncelet.

Danes velja projektivna geometrija za najsplošnejšo geometrijo, ki zajema evklidsko in tudi neevklidske geometrije. Skupna značilnost vseh geometrij, ki jih zajema, je homogenost – gre za geometrije, ki so povsod enake: v okolici poljubne točke veljajo iste značilnosti.

Mnogoterosti[uredi | uredi kodo]

Še splošnejša geometrija se je razvila iz preučevanja značilnosti ploskev. Ukrivljena oziroma neravna ploskev ima v okolici različnih točk lahko različne geometrijske značilnosti. Kmalu po tem se je pojavila ideja o ukrivljenem oziroma neravnem prostoru, za katerega velja isto.

Geometrijske značilnosti posplošenega n-razsežnega neravnega prostora preučuje geometrija mnogoterosti. Albert Einstein je izoblikoval svojo splošno teorijo relativnosti na zamisli o ukrivljenem prostor-času.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

  • Geometridae (slovensko: pedici), družina nočnih metuljev


Prostor

uredi
Topologija | Geometrija | Evklidska geometrija | Neevklidska geometrija | Trigonometrija | Algebrska geometrija | Diferencialna geometrija | Diferencialna topologija | Algebrska topologija | Linearna algebra | Fraktalna geometrija