Trigonometrija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Beseda trigonometríja izhaja iz grških besed trigonon - trikotnik + metria - merjenje. Ta veja matematike se je razvila iz preučevanja trikotnika in odnosov med njegovimi stranicami in koti. K razvoju trigonometrije sta veliko pripomogla astronomija in delitev kroga na 360°. Pri Egipčanih je razvoj trigonometrije potekal vzporedno z gradnjo piramid.

V sredini 15. stoletja je nemški astronom in matematik Regiomontan objavil vse dotedanje znanje trigonometrije, kar je vplivalo na razvoj te veje po vsej Evropi. Razvoj trigonometrije je povezan s tehničnim razvojem.

Osnova trigonometrije so kotne ali trigonometrične funkcije.

Osnovni problem trigonometrije je razreševanje trikotnika - to pomeni računanje velikosti kotov in dolžin daljic (stranic, višin, težiščnic ipd.) v trikotniku. Najpomembnejša pravila, ki jih pri tem uporabljamo v evklidski geometriji, so:

  • izrek o vsoti notranjih kotov trikotnika:

Trigonometrična razmerja[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Trigonometrična funkcija.
V tem pravokotnem trikotniku: sin A = a/c; cos A = b/c; tan A = a/b.

Trigonometrična razmerja so razmerja med robovi pravokotnega trikotnika. Ta razmerja so podana z naslednjimi trigonometričnimi funkcijami znanega kota A, kjer se a, b in c nanašajo na dolžine stranic na priloženi sliki:

  • Sinusna funkcija (sin) je definirana kot razmerje med kotu nasprotno kateto in hipotenuzo.
  • Kosinusna funkcija (cos) je definirana kot razmerje med kotu priležno kateto in hipotenuzo.
  • Tangentna funkcija (tan) je definirana kot razmerje med kotu nasprotno kateto in kotu priležno kateto.

Recipročne vrednosti teh funkcij se imenujejo kosekans (csc), sekans (sec) in kotangens (cot):

Enotski krog in trigonometrične vrednosti[uredi | uredi kodo]

Slika 1a – Sinus in kosinus kota θ določena z enotsko krožnico.

Trigonometrična razmerja je mogoče predstaviti tudi z uporabo enotskega kroga, ki ima središče v izhodišču koordinatnega sistema in polmer 1.[1] Od pozitivnega poltraka abscisne osi odmerimo premični poltrak kota A. Točko, kjer premični poltrak seka kotomerno krožnico, označimo s točko (x,y), kjer in .[1] Ta predstavitev omogoča izračun trigonometričnih vrednosti, kot so na primer te v spodnji tabeli [2]

Funkcija 0
sinus
kosinus
tangens nedefinirano
sekans nedefinirano
kosekans nedefinirano nedefinirano
kotangens nedefinirano nedefinirano

Trigonometrične funkcije realnih ali kompleksnih spremenljivk[uredi | uredi kodo]

Z uporabo enotskega kroga lahko razširimo definicije trigonometričnih razmerij na vse pozitivne in negativne argumente[3] (glej trigonometrična funkcija).

Grafi trigonometričnih funkcij[uredi | uredi kodo]

Naslednja tabela povzema lastnosti grafov šestih glavnih trigonometričnih funkcij:[4][5]

Funkcija Obdobje domena Razpon Graf
sinus Sine one period.svg
kosinus Cosine one period.svg
tangens Tangent-plot.svg
sekans Secant.svg
kosekans Cosecant.svg
kotangens Cotangent.svg

Inverzne trigonometrične funkcije[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Krožna funkcija.

Ker je šest glavnih trigonometričnih funkcij periodičnih, niso injektivne in zato niso inverzibilne. Z omejevanjem definicijskega območja trigonometrične funkcije, lahko postanejo inverzibilne.[6] :48ff

Imena inverznih trigonometričnih funkcij, skupaj z njihovimi domenami in obsegom, najdete v naslednji tabeli:[7]:48ff[8]:521ff

Ime Običajni zapis Definicija Definicijsko območje x za realni rezultat Razpon glavne vrednosti (radiani) Razpon glavne vrednosti (stopinje)
Arkus sinus y = arcsin(x) x = sin(y) −1 ≤ x ≤ 1 π/2yπ/2 −90° ≤ y ≤ 90°
Arkus kosinus y = arccos(x) x = cos(y) −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ yπ 0° ≤ y ≤ 180°
Arkus tangens y = arctan(x) x = tan(y) vsa realna števila π/2 < y <π/2 −90° < y < 90°
Arkus kotangens y = arccot(x) x = cot(y) vsa realna števila 0 < y < π 0° < y < 180°
Arkus sekans y = arcsec(x) x = sec(y) x ≤ −1 ali 1 ≤ x 0 ≤ y <π/2 ozπ/2 < yπ 0° ≤ y < 90° ali 90° < y ≤ 180°
Arkus kosekans y = arccsc(x) x = csc(y) x ≤ −1 ali 1 ≤ x π/2y < 0 ali 0 < yπ/2 −90° ≤ y < 0° ali 0° < y ≤ 90°

Sklici[uredi | uredi kodo]

  1. 1,0 1,1 David Cohen; Lee B. Theodore; David Sklar (17 July 2009). Precalculus: A Problems-Oriented Approach, Enhanced Edition. Cengage Learning. ISBN 978-1-4390-4460-5.
  2. W. Michael Kelley (2002). The Complete Idiot's Guide to Calculus. Alpha Books. str. 45. ISBN 978-0-02-864365-6.
  3. Jenny Olive (18 September 2003). Maths: A Student's Survival Guide: A Self-Help Workbook for Science and Engineering Students. Cambridge University Press. str. 175. ISBN 978-0-521-01707-7.
  4. Mary P Attenborough (30 June 2003). Mathematics for Electrical Engineering and Computing. Elsevier. str. 418. ISBN 978-0-08-047340-6.
  5. Ron Larson; Bruce H. Edwards (10 November 2008). Calculus of a Single Variable. Cengage Learning. str. 21. ISBN 978-0-547-20998-2.
  6. Elizabeth G. Bremigan; Ralph J. Bremigan; John D. Lorch (2011). Mathematics for Secondary School Teachers. MAA. ISBN 978-0-88385-773-1.
  7. Elizabeth G. Bremigan; Ralph J. Bremigan; John D. Lorch (2011). Mathematics for Secondary School Teachers. MAA. ISBN 978-0-88385-773-1.
  8. Martin Brokate; Pammy Manchanda; Abul Hasan Siddiqi (3 August 2019). Calculus for Scientists and Engineers. Springer. ISBN 9789811384646.