Matematika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
(Preusmerjeno s strani Matematik)
Skoči na: navigacija, iskanje
Simbolni prikaz različnih področij matematike


Matemátika (starogrško μαθηματικά: mathēmatiká, μάθημα: máthēma - -thematos - znanost, znanje, učenje, študij; μαθηματικός: mathematikos - ljubezen do učenja) je znanstvena veda, ki raziskuje vzorce. Vsebuje abstraktne lastnosti množin, struktur, sprememb in prostora. Ta stran zrcali organiziran pogled na matematiko. Benjamin Peirce je imenoval matematiko »znanost, ki podaja nujne sklepe«. Druga opredelitev navaja, da je matematika znanost o vzorcih, ki se lahko nahajajo v številih, prostoru, znanosti, računalnikih, navideznih ali stvarnih abstrakcijah, oziroma kjerkoli. Matematiki te vzorce raziskujejo in poskušajo formulirati nove domneve in ugotoviti njihovo resničnost s strogo deduktivno izpeljavo iz ustrezno izbranih aksiomov in definicij.

Področja matematike[uredi | uredi kodo]

Abakus, preprosto orodje za računanje, ki se uporablja že od antičnih časov

Matematika se lahko v širšem pomenu deli na proučevanje velikosti, strukture, prostora in spremembe (t.j. aritmetika, algebra, geometrija in analiza). Poleg teh osnovnih področij, obstajajo tudi podpodročja, kot so: logika, teorija množic (temelji), empirična matematika raznovrstnih znanosti (uporabna matematika) in v zadnjem času tudi raziskovanje negotovosti.

Temelji in filozofija[uredi | uredi kodo]

Z namenom, da bi pojasnili temelje matematike, sta se razvili področji matematične logike in teorije množic. Matematična logika vključuje matematično raziskovanje logike in uporabo formalne logike na drugih področjih matematike; teorija množic je veja matematike, ki raziskuje množice ali zbirke objektov. Teorija kategorij, ki se ukvarja na abstraktni način z matematičnimi strukturami in odnosi med njimi, je še vedno v razvoju.

Matematična logika je temeljna matematična panoga, ki obravnava in formalizira neprotislovno sklepanje.[1] Znana sta Gödlova izreka o nepopolnosti, kjer Gödel pokaže, da matematike ni mogoče vzpostaviti kot celostnega logičnega sistema, saj zmeraj obstajajo trditve, za katere ne moremo zgolj s formalno izpeljavo pokazati, ali so resnične ali neresnične; in da matematike nikakor ne moremo zaobjeti z nobenim končnim sistemom aksiomov.[2]

Teoretično računalništvo vključuje teorijo izračunljivosti, teorijo računske zahtevnosti in teorijo informacij. Teorija izračunljivosti opozarja, da je skoraj zanemarljiv delež problemov, ki si jih lahko formalno zastavimo, rešljiv algoritmično,[3] vključno z zelo znanim modelom - Turingov stroj. Teorija kompleksnosti je posebno področje matematike, ki se ukvarja s kompleksnostjo algoritmov. Nekateri problemi, ki so teoretično rešljivi z računalnikom, so predragi v smislu porabe časa in prostora in bodo verjetno ostali nerešljivi četudi se strojna orema hitro razvija. Eden znamenitejših nerešenih problemov v matematiki je "P = NP?" problem in je eden izmed Millennium Prize Problems.[4] Teorija informacij se ukvarja s količinami podatkov, ki se lahko shranjujejo na nek medij, in se zatorej ukvarja s koncepti kot sta stiskanje podatkov in entropija.

p \Rightarrow q \, Venn A intersect B.svg Commutative diagram for morphism.svg DFAexample.svg
Matematična logika Teorija množic Teorija kategorij Teorija izračunljivosti

Čista matematika[uredi | uredi kodo]

Velikost[uredi | uredi kodo]

Proučevanje velikosti se je začelo s števili, najprej z običajnimi naravnimi in celimi števili ter z aritmetičnimi operacijami nad njimi. Globlje značilnosti celih števil proučuje teorija števil, iz katere izhaja Fermatov zadnji izrek. Domnevi praštevilskih dvojčkov in Goldbachova domneva sta dva nerešena problema v teoriji števil.

Ko se je številski sistem razvijal naprej, so cela števila prepoznali kot podmnožico racionalnih številulomkov«). Ti so bili vsebovani znotraj realnih števil in so včasih predstavljali zvezne velikosti. Realna števila so poslpošeno kompleksna števila. To so prvi koraki hierarhije števil, ki se nadaljujejo do kvaternionov in oktonionov. Upoštevanje naravnih števil je vodilo do transfinitnih števil, ki formalizirajo koncept »neskončnosti«. Drugo področje raziskovanja je bilo velikost, ki je vodilo do kardinalnih števil in nato do drugega koncepta neskončnosti: števila alef, ki dovoljujejo primerjavo velikosti neskončno velikih množic.

1, 2, 3,\ldots\! \ldots,-2, -1, 0, 1, 2\,\ldots\!  -2, \frac{2}{3}, 1.21\,\! -e, \sqrt{2}, 3, \pi\,\! 2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!
Naravna števila Cela števila Racionalna števila Realna števila Kompleksna števila

Strukture[uredi | uredi kodo]

Veliko matematičnih objektov, kot so množice števil in funkcije imajo notranjo strukturo kot posledico operacij in relacij, ki so definirane nad množico. Matematika nato raziskuje lastnosti teh množic, ki se lahko izrazijo s temi strukturami; na primer teorija števil raziskuje lastnosti množice celih števil, ki se lahko izrazijo z aritmetičnimi operacijami. Poleg tega se pogosto zgodi, da imajo različne strukturirane množice (ali strukture) podobne lastnosti, kar omogoča, z naslednjim korakom abstrakcije, opredeljevanje aksiomov za razred struktur, in nato raziskovanje celotnega razreda struktur naenkrat lahko ustreza tem aksiomom. Zatorej lahko nekdo raziskuje grupe, kolobarje, obsege in druge abstraktne sisteme; skupaj takšne študije (strukture definiranih z algebrskimi operacijami) sestavljajo področje abstraktne algebre.

Abstraktna algebra se pogosto lahko uporabi za navidezno nepovezane probleme; na primer: kar nekaj antičnih problemov, ki zadevajo geometrijsko konstrukcijo so rešili z uporabo Galoisove teorije, ki vključuje teorijo obsegov in teorijo grup. Drug primer je linearna algebra, ki se v splošnem ukvarja z vektorskim prostorom, katerega elementi, ki se imenujejo vektor, imajo velikost in smer, in se lahko uporabijo kot model točk v prostoru. Kombinatorika proučuje načine razporejanja objektov, da ustrezajo določeni strukturi.

\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix} Elliptic curve simple.svg Rubik's cube.svg Group diagdram D6.svg Lattice of the divisibility of 60.svg Braid-modular-group-cover.svg
Kombinatorika Teorija števil Teorija grup Teorija grafov Teorija urejenosti Algebra

Prostor[uredi | uredi kodo]

Raziskovanje prostora izhaja iz geometrije – predvsem iz Evklidske geometrijeTrigonometrija je veja matematike, ki se ukvarja z relacijami med stranicami in koti v trikotnikih in z trigonometričnimi funkcijami; kombinira prostor in števila in vključuje znan Pitagorov izrek. Sodobno raziskovanje prostora generalizira te ideje, tako da so lahko vključene v višje dimenzije, t.j neevklidske geometrije (ki ima veliko vlogo v splošni relativnosti in topologiji). Velikost in prostor igrata vlogo v analitični, diferencialni in v algebrski geometriji. Za reševanje problemov v teoriji števil in funkcionalni analizi so razvili konveksno in diskretno geometrijo.

Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg Sinusvåg 400px.png Hyperbolic triangle.svg Torus.png Mandel zoom 07 satellite.jpg Measure illustration.png
Geometrija Trigonometrija Diferencialna geometrija Topologija Fraktalna geometrija Teorija mere

Spremembe[uredi | uredi kodo]

Razumevanje in opisovanje spremeb je pogosta tematika v naravoslovju; za raziskovanje je bilo razvito orodje infinitezimalni račun. Tukaj so nastale funkcije kot osrednji koncept spreminjajočih se količin. Raziskovanje realnih števil in funkcij realne spremenljivke je poznano kot realna analiza, in kompleksna analiza za kompleksna števila.

Integral as region under curve.svg Vector field.svg Navier Stokes Laminar.svg Limitcycle.svg Lorenz attractor.svg Conformal grid after Möbius transformation.svg
Infinitezimalni račun Vectorska analiza Diferencialne enačbe Dinamični sistemi Teorija kaosa Kompleksna analiza

Uporabna matematika[uredi | uredi kodo]

Uporabna matematika vsebuje matematične metode, ki se tipično uporabljajo v znanosti, inženirstvu, trgovini in industriji. Torej »uporabna matematika« je matematična znanost s specializiranimi znanji. V preteklosti je praktična uporaba motivirala razvoj matematičnih teorij, ki so potem postale subjekt čistih matematik. Zatorej je uporabna matematika pomembno povezana z raziskovanji v čisti matematiki.

Gravitation space source.png BernoullisLawDerivationDiagram.svg Composite trapezoidal rule illustration small.svg Maximum boxed.png Two red dice 01.svg Oldfaithful3.png Caesar3.svg
Matematična fizika Dinamika tekočin Numerična analiza Optimizacija Teorija verjetnosti Statistika Kriptografija
Market Data Index NYA on 20050726 202628 UTC.png Arbitrary-gametree-solved.svg Signal transduction pathways.svg CH4-structure.svg GDP PPP Per Capita IMF 2008.svg Simple feedback control loop2.svg
Finančna matematika Teorija iger Matematična biologija Matematična kemija Matematična ekonomija Control theory

Kratek vsebinski pregled matematike[uredi | uredi kodo]

Kolaž matematičnih pojmov in predstav

Množina[uredi | uredi kodo]

Števila -- Naravna števila -- Cela števila -- Racionalna števila -- Realna števila -- Kompleksna števila -- Kvaternioni -- Oktonioni -- Sedenioni -- Hiperrealna števila -- Surrealna števila -- Ordinalna števila -- Kardinalna števila -- p-adična števila -- Celoštevilska zaporedja -- Matematične konstante -- Imena števil -- Neskončnost

Sprememba[uredi | uredi kodo]

Aritmetika -- Vektorski račun -- Matematična analiza -- Diferencialne enačbe -- Dinamični sistemi in teorija kaosa -- Seznam matematičnih funkcij

Zgradba[uredi | uredi kodo]

Abstraktna algebra -- Teorija števil -- Algebrska geometrija -- Teorija grup -- Monoidi -- Analiza -- Topologija -- Linearna algebra -- Teorija grafov -- --Splošna algebra -- Teorija razredov

Prostor[uredi | uredi kodo]

Topologija -- Geometrija -- Algebrska geometrija -- Diferencialna geometrija -- Diferencialna topologija -- Algebrska topologija -- Linearna algebra

Končna matematika[uredi | uredi kodo]

Kombinatorika -- Teorija množic -- Verjetnost in statistika -- Teorija računanja -- Diskretna matematika -- Tajnopisje -- Teorija grafov -- Teorija iger

Uporabna matematika[uredi | uredi kodo]

Mehanika -- Numerična analiza -- Optimizacija -- Verjetnost in statistika

Slavni izreki, domneve in paradoksi[uredi | uredi kodo]

Cantorjev diagonalni dokaz -- Domneva kontinuuma -- Domneva praštevilskih dvojčkov -- Fermatov veliki izrek -- Gödlova izreka o nepopolnosti -- Goldbachova domneva -- Izrek glavne limite -- Izrek o štirih barvah -- Kitajski izrek o ostankih -- Osnovni izrek aritmetike -- Osnovni izrek algebre -- Mannov izrek -- P=NP -- Pitagorov izrek -- Poincaréjeva domneva -- Praštevilski izrek -- Riemannova domneva -- Schanuelova domneva -- Sinusni izrek -- Smaleov paradoks -- Talesov izrek -- Zornova lema -- »Najpomembnejša enačba na svetu«

Osnove in postopki[uredi | uredi kodo]

Filozofija in matematika -- Matematični intuicionizem -- Matematični konstruktivizem -- Temelji matematike -- Teorija množic -- Simbolna logika -- Teorija kalupov -- Teorija razredov -- Dokazovanje izrekov

Zgodovina in svet matematikov[uredi | uredi kodo]

Zgodovina matematike -- Matematiki -- Fieldsova medalja -- Nagrada stoletnih problemov -- Mednarodna matematična zveza -- Matematična tekmovanja

Slovenska matematika[uredi | uredi kodo]

Slovenski matematiki - Matematika na Slovenskem - Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije (DMFA) -- IMFM -- Presek -- Obzornik za matematiko in fiziko (OMF)

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Prijatelj, Andreja. "Univerzitetni študijski program: Matematika in računalništvo, matematiki in fizika, matematika in tehnika". Univerza na Primorskem, Pedagoška fakulteta. Pridobljeno dne 19. avgust 2015. 
  2. ^ Dolenc, Sašo (13. 08. 2012). "Mož, ki je dokazal, da vsega ni mogoče dokazati". kvarkadabra.net. Pridobljeno dne 19. avgust 2015. 
  3. ^ Kononenko, Igor (12. marec 2006). "Nekateri vidiki strojnega ucenja, umetne inteligence in zavesti". Pridobljeno dne 19. avgust 2015. 
  4. ^ Clay Mathematics Institute, P=NP, claymath.org

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]