Trigonometrična funkcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Trigonométrične (trigonometríjske) ali kótne fúnkcije so pomembne matematične funkcije. Ime kotne funkcije izhaja iz dejstva, da so rezultati odvisni od kota. Starejše ime za te funkcije je kotomerne ali goniometrične (grško γωνία: lonía - kot) funkcije. Kotne funkcije so pomembne pri proučevanju trikotnikov in pri modeliranju periodičnih pojavov. Na njih sloni trigonometrija. Lahko jih določimo kot razmerja dveh stranic pravokotnega trikotnika, ki oklepata kot, ali še bolj splošno kot razmerja koordinat točk na enotskem trigonometričnem krogu, oziroma kot neskončne vrste.

Grafi trigonometričnih funkcij sinus, kosinus in tangens

Obstaja šest osnovnih trigonometričnih funkcij: sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans in kosekans. Sekans in kosekans se v novejšem času opuščata.

Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku[uredi | uredi kodo]

Sinus (sin) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu nasprotno kateto in hipotenuzo.

Kosinus (cos) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu priležno kateto in hipotenuzo.

Tangens (tg ali tan) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu nasprotno kateto in kotu priležno kateto.

Kotangens (ctg ali cot) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu priležno kateto in kotu nasprotno kateto.

Sekans (sec) je v pravokotnem trikotniku razmerje med hipotenuzo in kotu priležno kateto. Velja: \sec x=\frac{1}{\cos x}.

Kosekans (csc) je v pravokotnem trikotniku razmerje med hipotenuzo in kotu nasprotno kateto. Velja: \csc x=\frac{1}{\sin x}.

Kotne funkcije v enotskem krogu[uredi | uredi kodo]

Trigonometrične funkcije v enotskem krogu

Z enotskim krogom (OA = 1) lahko funkcije opredelimo kot:

  • sin α = BC - ordinata točke, kjer gibljivi krak kota α seka enotsko krožnico
  • cos α = OB - abscisa točke, kjer gibljivi krak kota α seka enotsko krožnico
  • tg α = AD - ordinata točke, kjer nosilka gibljivega kraka kota α seka tangento na enotsko krožnico pri x = 1
  • ctg α = EF - abscisa točke, kjer nosilka gibljivega kraka kota α seka tangento na enotsko krožnico pri y = 1
  • sec α = OD
  • csc α = OF

Ciklometrične (krožne) funkcije[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: krožna funkcija.

Vsaki trigonometrični funkciji pripada inverzna funkcija. Inverze trigonometričnih funkcij imenujemo krožne ali ciklometrične funkcije.

Ker trigonometrične funkcije niso bijektivne, so krožne funkcije le delno inverzi (inverzi le na določenem območju). V spodnji tabeli so navedeni ustrezni intervali (glavne vrednosti).

Trigonometrična funkcija Krožna funkcija Glavne vrednosti
x = sin y y = arc sin x -π/2 ≤ y ≤ π/2
x = cos y y = arc cos x 0 ≤ y ≤ π
x = tg y y = arc tg x -π/2 ≤ y ≤ π/2
x = ctg y y = arc ctg x 0 ≤ y ≤ π
x = sec y y = arc sec x 0 ≤ y ≤ π
x = csc y y = arc csc x -π/2 ≤ y ≤ π/2

Izražanje funkcij s številskimi vrstami[uredi | uredi kodo]

Trigonometrične funkcije lahko za majhne vrednosti argumenta razvijemo v Taylorjevo vrsto (opomba: argument x mora biti v radianih):

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \pm \ldots
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \pm \ldots
\mathrm{tg}\, x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \ldots + \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} + \ldots

Pri tem Bn označujejo Bernoullijeva števila.

Funkcije kompleksnega argumenta[uredi | uredi kodo]

Trigonometrične funkcije lahko razširimo tako, da dovolimo, da je argument funkcije kompleksen. Pri tem si lahko pomagamo z Eulerjevo enačbo:

 e^{iz} = \cos z + i\sin z \!\, .

Odtod dobimo

 \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \!\, ,
 \cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \!\, .

Osnovne zveze med kotnimi funkcijami[uredi | uredi kodo]

(\sin  (x))^2+(\cos (x))^2=1

 1+(\mathrm{tg} \, (x))^2=\frac{1}{(\cos (x))^2}

 1+(\mathrm{ctg} \, (x))^2=\frac{1}{(\sin  (x))^2}

Kotne funkcije komplementarnih kotov[uredi | uredi kodo]

sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=cos\alpha


cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=sin\alpha


tg(\frac{\pi}{2}-\alpha)=ctg\alpha


 ctg(\frac{\pi}{2}-\alpha)=tg\alpha

Prehod na ostri kot[uredi | uredi kodo]

sin(\pi-\alpha)=sin\alpha

sin(\pi+\alpha)=-sin\alpha

cos(\pi-\alpha)=-cos\alpha

cos(\pi+\alpha)=-cos\alpha

tg(\pi-\alpha)=-tg\alpha

 ctg(\pi-\alpha)=-ctg\alpha

Kotne funkcije dvojnih kotov[uredi | uredi kodo]

sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha

cos2\alpha=(cos\alpha)^2-(sin\alpha)^2

 tg 2\alpha=\frac{2tg\alpha}{1-(tg\alpha)^2}

Kotne funkcije trojnih kotov[uredi | uredi kodo]

sin3\alpha=3sin\alpha-4(sin\alpha)^3

cos3\alpha=4(cos\alpha)^3-3cos\alpha

Kotne funkcije polovičnih kotov[uredi | uredi kodo]

tg \frac{\alpha}{2}=\frac{1-cos \alpha}{sin \alpha}


sin\frac{\alpha}{2}= \pm(\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{2}})



cos\frac{\alpha}{2}=\pm (\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2})}

Adicijski izreki[uredi | uredi kodo]

sin (\alpha + \beta)=sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta

sin (\alpha - \beta)=sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta

cos (\alpha + \beta)=cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta

cos (\alpha - \beta)=cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta





Vir:MATEMATIKA V SREDNJI ŠOLI, Dušan Kavka

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]