Obseg

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Obsèg je v geometriji dolžina zaprte krivulje, po navadi dvorazsežne ravninske krivulje. Največkrat govorimo o obsegu pri geometrijskih likih, čeprav pridejo v poštev tudi druge krivulje (oval, superelipsa, konhoida kroga (Pascalov polž), srčnica, Cassinijeve jajčnice, lemniskate (Bernoullijeva, Boothova, Geronova, hipopeda), cikloide (epicikloida, hipocikloida), ipd).

Mnogokotniki[uredi | uredi kodo]

Obseg mnogokotnika je vsota dolžin vseh njegovih stranic.

Obseg trikotnika s stranicami dolžin a, b in c je:

 o = a + b + c \,\! .

Obseg štirikotnika s stranicami dolžin a, b, c in d je:

 o = a + b + c + d \,\! .

Obseg enakokrakega trikotnika z osnovnico dolžine b in krakoma dolžine a ter pravokotnika s stranicama dolžin a in b je:

 o = 2a + b \,\! ,
 o = 2(a + b) \,\! .

Obseg pravilnega mnogokotnika z n stranicami dolžine a je:

 o = na\,\! .

Obseg enakostraničnega trikotnika in kvadrata s stranicami dolžine a je tako:

 o = 3a \,\! ,
 o = 4a \,\! .

Krožnica[uredi | uredi kodo]

Obseg krožnice je dan z njenim premerom d ali s polmerom r:

 o = \pi d = 2\pi r \,\! ,

oziroma s ploščino kroga S:

 o = 2 \sqrt {\pi S} \approx 3,544908 \sqrt{S} \,\! .

Tu je π matematična konstanta pi.

Elipsa[uredi | uredi kodo]

Približki za obseg elipse z glavnima polosema a in b:

 o \approx 2\pi \sqrt{ab} \,\! (Kepler, 1609)
 o \approx \pi (a+b) \,\! ,
 o \approx \pi \sqrt{2(a^2+b^2)} \,\! (Euler, 1773)
 o \approx \pi \left[ \frac{a+b}{2} + \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \right] \,\! ,
 o \approx \pi \left[ \frac{3}{2} (a+b)-\sqrt{ab} \right] \,\!

ali:

 o \approx \pi \sqrt{2(a^2 + b^2) - \frac{1}{2}(a-b)^2} \,\! .

Vsak približek je točnejši od predhodnega.

Dobra približka je leta 1914 dal Ramanujan:

 o \approx \pi \left[ 3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)} \right] = 
        \pi (a+b) \left[ 3 - \sqrt{4-h} \right] \,\! ,
 o \approx \pi (a+b) \left[1+\frac{3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2} {10+\sqrt{4-3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}} \right] =
        \pi \left(a+b\right)\left[1+\frac{3h} {10+\sqrt{4-3h}}\right] \,\! .

kjer je h parameter:

 h = \lambda^2 \,\! , \qquad \lambda = \frac{a-b}{a+b} \,\! .

Tudi tukaj je drugi približek točnejši. Malo manj točen približek je med letoma 1904 in 1920 dal Lindner:

 o \approx \pi (a+b) \left[1 + \frac{h}{8} \right]^2 \,\! .

Obseg elipse s parametrom λ je:

 o = \pi(a+b)\left[1 + \frac{\lambda^2}{4} + \frac{\lambda^4}{64} + \frac{\lambda^6}{256} + \cdots \right] = \pi(a+b) \left[1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{(2n-2)!}{n!(n-1)!2^{2n-1}}\right)^2 \lambda^{2n}\right] \,\! ,

oziroma s parametrom h:

 o = \pi(a+b)\left[1 + \frac{h}{4} + \frac{h^2}{64} + \frac{h^3}{256} + \frac{25h^4}{16384} + \frac{49h^5}{65536} + \cdots \right] = \pi(a+b) \sum_{n=0}^{\infty} {{1\over 2} \choose n}^2 h^n \,\! ,

približek pa (Hudsonova enačba, 1917):

 o \approx \pi (a+b) \frac{64-3h^2}{64-16h} \,\! .

Hudsonovo enačbo po navadi pišejo s parametrom L:

 L = \frac{h}{4} = \frac{(a-b)^2}{(2(a+b))^2} \,\!
 o \approx \frac{\pi}{4} (a+b) \left[ 3(1+L) + \frac{1}{1-L}\right] \,\! .

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]