Očrtana krožnica

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Mnogokotniku očrtana krožnica

Očrtana krožnica je v ravninski geometriji krožnica, ki poteka skozi vsa oglišča danega mnogokotnika. Množica točk, ki jo ta krožnica omejuje, se imenuje očrtani krog.

Obstoj očrtane krožnice[uredi | uredi kodo]

Krožnico lahko očrtamo samo nekaterim mnogokotnikom. Če očrtana krožnica obstaja, so stranice mnogokotnika tetive krožnice, zato takemu mnogokotniku rečemo tetivni mnogokotnik. Oglišča mnogokotnika so v tem primeru sokrožne točke.

Simetrala tetive vedno poteka skozi središče krožnice. To nam omogoča konstrukcijo očrtane krožnice, pa tudi kriterij, kdaj očrtana krožnice sploh obstaja. Imejmo podan mnogokotnik:

  • Najprej konstruiramo simetrale vseh stranic.
  • Če se simetrale vseh stranic sekajo v isti točki, potem očrtana krožnica obstaja in ta točka je središče očrtane krožnice.
  • Polmer očrtane krožnice je razdalja med središčem in poljubnim ogliščem.

Polmer očrtane krožnice je v novejših matematičnih učbenikih vedno označen z R, polmer včrtane krožnice pa z r (v starejših učbenikih je bil polmer očrtane krožnice r, polmer včrtane krožnice pa ρ).

Nekateri mnogokotniki, ki jim lahko zagotovo očrtamo krožnico:

Trikotniku očrtana krožnica[uredi | uredi kodo]

Trikotnik ima značilnost, da se simetrale stranic vedno sekajo v isti točki, zato lahko trikotniku vedno očrtamo krožnico. Za polmer očrtane krožnice veljata dve pomembni formuli:

 \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R \!\, .
 R=\frac{abc}{4p} \!\, .

Štirikotniku očrtana krožnica[uredi | uredi kodo]

Krožnico lahko očrtamo samo nekaterim štirikotnikom - imenujemo jih tetivni štirikotniki.

Karakteristična za tetivne štirikotnike je značilnost, da sta nasprotna kota suplementarna.

 \alpha + \gamma = 180^{\circ}, \quad \beta + \delta = 180^{\circ} \!\, .

Za polmer štirikotniku očrtane krožnice (R) velja naslednja zveza s ploščino (p):

 R = \, \frac{e (ab+cd)}{4p} = \frac{f (ad+bc)}{4p} \!\, .

Glej tudi[uredi | uredi kodo]