Pravilni mnogokotnik

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Pravilni mnogokotnik ali pravilni večkotnik je mnogokotnik, ki ima vse stranice enako dolge in vse kote med seboj skladne.

Pravilni mnogokotniki:

Regular triangle.svg Geometri kvadrat.png Pentagon.svg Hexagon.svg Heptagon.svg Octagon.svg Enneagon.svg Decagon.svg

Pravilni trikotnik se imenuje tudi enakostranični trikotnik.

Pravilni štirikotnik se imenuje tudi kvadrat.

Splošne značilnosti[uredi | uredi kodo]

Pravilni mnogokotnik je konveksen ali pa je zvezdni mnogokotnik.

Dva pravilna n-kotnika sta vedno podobna. Če imata enako dolgo stranico (a' = a), sta tudi skladna.

Oglišča pravilnega mnogokotnika ležijo na enaki razdalji na krožnici.[1]:76 Vsakemu pravilnemu mnogokotniku se da hkrati včrtati in očrtati krožnico. Pravilni mnogokotniki so tako vedno bicentrični. Pri njih sta krožnici istosrediščni.

 r_{n} = \frac{a_{n}}{2 \operatorname{tg} \left( \frac{180^{\circ}}{n} \right)} = R_{n} \cos \left( \frac{180^{\circ}}{n} \right) \!\, .
 R_{n} = \frac{a_{n}}{2 \sin \left( \frac{180^{\circ}}{n} \right)} \!\, ,
 R_{n}^{2} = r_{n}^{2} + \frac{1}{4} a_{n}^{2} \!\, .

Pravilni mnogokotniki imajo n simetralnih osi.

Koti in diagonale[uredi | uredi kodo]

Za pravilni mnogokotnik veljajo naslednje splošne formule:

  • vsota notranjih kotov:
 S_{n}=(n-2)\cdot 180^{\circ} \!\, .
  • vsota zunanjih kotov:
 S'_{n}=360^{\circ} \!\, .
 D_{n}=\frac{n(n-3)}{2} \!\, .
  • (priležni) kot ob osnovnici (kot med stranico in diagonalo):
 \alpha_{n} = \left( 1 - \frac{2}{n} \right) \cdot 90^{\circ} \!\, .

Obseg in ploščina[uredi | uredi kodo]

Obseg pravilnega n-kotnika s stranico a_{n}\, je enak:

 o_{n} = na_{n} \,\! .

Ploščino pravilnega n-kotnika s stranico a_{n}\, se lahko izračuna po različnih formulah. Izračun temelji na dejstvu, da se lahko pravilni n-kotnik vedno razdeli na n enakokrakih trikotnikov (samo pri šestkotniku so to enakostranični trikotniki).

Če se pozna polmer včrtane krožnice r_{n}\, :

 p_{n} = \frac{n a_{n} r_{n}}{2} \!\, .

Če se pozna polmer očrtane krožnice R_{n}\, :

 p_{n} = \frac{nR_{n}^{2} \sin \varphi_{n}}{2} \!\, .

Neposredno iz stranice a_{n}\, :

 p_{n} = \frac{n a_{n}^{2}}{4\operatorname{tg} \frac{\varphi_{n}}{2}} = \frac{n a_{n}^{2} r_{n}}{2} \!\, .

V zgornjih dveh formulah je \varphi_{n}=\frac{360^\circ}{n} središčni kot nad stranico a_{n}\, .

Povezave med dolžinami stranic in ploščinami med n-kotniki in 2n-kotniki:

 a_{2n} = R_{n} \sqrt{ 2 - 2 \sqrt{ 1 - \left( \frac{a_{n}}{2R_{n}} \right)^{2}}}, \qquad a_{n} = a_{2n} \sqrt{ 4 - \frac{a_{2n}^{2}}{R_{n}^{2}}} \!\, ,
 p_{2n} = \frac{nR_{n}^{2}}{\sqrt{2}} \sqrt{ 1 - \sqrt{ 1 - \frac{4 p_{n}^{2}}{n^{2} R_{n}^{4}}}}, \qquad p_{n} = p_{2n} \sqrt{ 1 - \frac{p_{2n}^{2}}{n^{2} R_{n}^{4}}} \!\, .

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Stöcker (2006), str. 76.

Viri[uredi | uredi kodo]