Petriejev mnogokotnik

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Petriejev mnogokotnik za pravilne politope z razsežnostjo je nagnjeni mnogokotnik v katerih vsaka zaporedna stranica (n - 1) pripada eni od facet. Petriejev mnogokotnik pravilnega mnogokotnika je sam po sebi pravilen mnogokotnik. Tako je za pravilni polieder nagnjeni mnogokotnik tisti, ki mu za vsaki dve zaporedni stranici (ne pa tri) pripada ena od stranskih ploskev.[1]

Za vsak pravilni politop obstaja pravokotna projekcija na ravnino tako, da Petriejev mnogokotnik postane pravilni mnogokotnik.

Petriejevi mnogokotniki so neravninski mnogokotniki, katerih robovi so podmnožica robov poliedrov.[2]

Ravnina, ki se jo obravnava, je Coxeterjeva ravnina s simetrijsko grupo mnogokotnika in s številom stranic , ki so Coxeterjeva števila Coxeterjeve grupe. Ti mnogokotniki in projicirani grafi so zelo uporabni za predstavo o strukturi simetrije za politope v višjih razsežnostih.

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

John Flinders Petrie (1907–1972) je bil prvi, ki je spoznal pomembnost poševnih mnogokotnikov. Po njem se tudi imenujejo mnogokotniki. Bil je edini sin egiptologa Flindersa Petrieja (1853–1942).

Petriejevi mnogokotniki pravilnih poliedrov[uredi | uredi kodo]

Petriejev mnogokotnik pravilnega poliedra {p, q} s h stranicami je:

cos2(π/h) = cos2(π/p) + cos2(π/q).

Pravilna duala {p, q} in {q, p} sta v istem projiciranem Petriejevem mnogokotniku.

Petriejevi mnogokotniki za pravilne poliedre (rdeči mnogokotniki)
tetraeder kocka oktaeder dodekaeder ikozaeder
centrirano na stranico centrirano na oglišče centrirano na stransko ploskev centrirano na stransko ploskev centrirano na oglišče
4 stranice 6 stranic 6 stranic 10 stranic 10 stranic
V:(4,0) V:(6,2) V:(6,0) V:(10,10,0) V:(10,2)
Petriejevi mnogokotniki so zunanjost teh ortogonalnih projekcij. Modro kaže "sprednje" robove, črne črte kažejo zadnje robove.

Koncentrični obroč oglišč se šteje od zunanje strani navznoter z oznako: V:(ab, ...) in se konča z nič, če ni središčnega oglišča.

Petriejevi mnogokotniki pravilnih polihoronov (4-politopov)[uredi | uredi kodo]


{3,3,3}

5-celica
5 stranskih ploskev
V:(5,0)

{3,3,4}

16-celica
8 stranskih ploskev
V:(8,0)

{4,3,3}

teserakt
8 stranskih ploskev
V:(8,8,0)

{3,4,3}

24-celica
12 stranskih ploskev
V:(12,6,6,0)

{5,3,3}

120-celica
30 stranskih ploskev
V:((30,60)3,603,30,60,0)

{3,3,5}

600-celica
30 stranskih ploskev
V:(30,30,30,30,0)

Projekcije Petriejevih mnogokotnikov pravilnih in uniformnih politopov[uredi | uredi kodo]

Projekcije Petriejevih mnogokotnikov so ena izmed najbolj uporabnih načinov za prikaz politopov, ki imajo razsežnost štiri in več. V spodnji preglednici so prikazane projekcije Petriejevih mnogokotnikov treh družin simpleksov, hiperkock in ortopleksov ter posebnih Liejevih grup En, ki generirajo polpravilne in uniformne politope za razsežnosti od 4 do 8.


Pregled družin politopov
Coxeterjeva grupa An BCn Dn
E6 E7 E8 F4 G2
Hn
2
trikotnik

kvadrat
 

šestkotnik


petkotnik
3

tetraeder


kocka


oktaeder


tetraeder
 

dodekaeder


ikozaeder
4

5-celica

teserakt


16-celica

polteserakt


24-celica


120-celica


600-celica
5

5-simpleks


5-kocka


5-ortopleks


5-polkocka
   
6

6-simpleks


6-kocka


6-ortopleks


6-polkocka


122


221
 
7

7-simpleks


7-kocka


7-ortopleks


7-polkocka


132


231


321
 
8

8-simpleks


8-kocka


8-ortopleks


8-polkocka


142


241


421
 
9

9-simpleks


9-kocka


9-ortopleks


9-polkocka
10 10-simpleks 10-kocka
10-ortopleks
10-polkocka
družina
n
n-simpleks n-hiperkocka n-ortopleks n-polkocka 1k2 2k1 k21

Sklici[uredi | uredi kodo]

  1. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] (Definicija: listina 13, Diskretne grupe generirane z zrcaljenjem, 1933, s. 161)
  2. »Podatek na Epinet-u«. Arhivirano iz prvotnega spletišča dne 17. marca 2012. Pridobljeno 1. aprila 2012.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]