Sedemkotnik

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Pravilni sedemkotnik
Nepravilni sedemkotnik

Sédemkótnik ali sedmerokótnik ali s tujko héptagon (starogrško heptagōnos < hepta - sedem + gōnos - ki ima kote) je v ravninski geometriji mnogokotnik s sedmimi stranicami, sedmimi oglišči in sedmimi notranjimi koti.

Sedemkotnik včasih imenujejo tudi septagon, kjer je predpona sept- (elizija številčne predpone septua-, izvedene iz latinščine).

Splošne značilnosti[uredi | uredi kodo]

V pravilnem sedemkotniku so vse stranice in koti enaki, notranji kot pa znaša 5π/7 radianov, oziroma 128,5714286 stopinj. Vsota notranjih kotov v preprostem sedemkotniku je enaka:

 S_{7}=(7-2)\cdot 180^{\circ} = 900^{\circ} \!\, .

Njegov Schläflijev simbol je {7}.

Dolžina stranice a\,\! je:

 a = 2 R \sin \frac{\pi}{7} \approx 0,86777 R \!\, ,

kjer je R polmer očrtane krožnice.

Obseg[uredi | uredi kodo]

Obseg sedemkotnika z dolžino stranice a\,\! je:

 o = 7a \!\, .

Ploščina[uredi | uredi kodo]

Ploščina pravilnega sedemkotnika z dolžino stranice a\,\! je:

 p = \frac{7}{4} \, \operatorname{ctg} \, \left( \frac{\pi}{7} \right) a^{2} \approx 3,63391 a^{2} \!\, .

To se lahko vidi, če se razdeli sedemkotnik s stranico dolžine 1 na sedem trikotniških rezin z vrhovi v središču in ogliščih sedemkotnika, potem pa se vsak trikotnik s pomočjo apoteme kot skupne stranice razdeli na pol. Dolžina apoteme je polovica kotangensa \pi/7\, , ploščina vsakega od 14-ih majhnih trikotnikov je 1/4 dolžine apoteme.

Točen algebrski izraz prek polinoma x {3} + x {2} - 2x\, (ena od njegovih ničel je 2\cos \tfrac{2\pi}{7})[1]:186–187 je dan z:

 p = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{7}{3}\left(35+2\sqrt[3]{196(13-3i\sqrt{3})}+2\sqrt[3]{196(13+3i\sqrt{3})}\right)}a^2 \!\, ,

kjer je i\, imaginarna enota.

Ploščina pravilnega sedemkotnika s polmerom očrtane krožnice R\,\! je:

 p = \frac{7}{2}R^{2} \sin \frac{2\pi}{7} \approx 2,73641 R^{2} \!\, .

Ploščina očrtanega kroga je \pi R^{2}\, , tako da ga pravilni sedemkotnik napolni približno za vrednost:

 \frac{7 \sin \frac{2\pi}{7}}{2\pi} \approx 0,87103 \!\, .

Konstrukcija[uredi | uredi kodo]

Pravilnega sedemkotnika se ne da skonstruirati z ravnilom in šestilom. Obstaja pa več približnih geometrijskih konstrukcij.

Sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Gleason (1988), str. 186 (sl. 1) –187.

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]