Polinom

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Polinóm, mnogočlénik ali veččlenik stopnje n, je linearna kombinacija potenc z nenegativnimi celimi eksponenti.

Splošno[uredi | uredi kodo]

Splošni zapis polinoma

p_n (x) = a_n x^n  + a_{n - 1} x^{n - 1}  + a_{n - 2} x^{n - 2}  +  \cdots  + a_2 x^2  + a_1 x + a_0\qquad(1)

ali krajše

p_n (x) = \sum_{k=0}^n a_kx^k\qquad(2) ,

kjer so koeficienti

a_n ,a_{n - 1} ,a_{n - 2} , \ldots a_2 ,a_1 ,a_0 \;;\;a_n  \ne 0\qquad(3)

poljubna realna števila ali kompleksna števila. Polinome uvrščamo med cele racionalne funkcije. Preprosti polinomi so realne funkcije ene realne spremenljivke:

p:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\quad p:x \mapsto p(x)\qquad(4) .

Osnovni parametri polinoma so:

  • stopnja polinoma st(p) = n
  • vodilni koeficient an
  • prosti člen a0.

Glede stopnje polinoma ločimo

  • polinom ničte stopnje (n = 0) ali konstantni polinom
p_0 (x) = a_0 ,a_0  \ne 0\qquad(5) ,
  • polinom prve stopnje (n = 1) ali linearni polinom
p_1 (x) = a_1 x + a_0 ,a_1  \ne 0\qquad(6) ,
  • polinom druge stopnje (n = 2) ali kvadratni polinom
p_2 (x) = a_2 x^2  + a_1 x + a_0 ,a_2  \ne 0\qquad(7)
  • polinom tretje stopnje (n = 3) ali kubični polinom
p_3 (x) = a_3 x^3  + a_2 x^2  + a_1 x + a_0 ,a_3  \ne 0\qquad(8) ...

Graf polinoma je nepretrgana ravninska polinomska krivulja n-te stopnje:

Gr_p  = \left\{ {T(x,p(x));\left( {x \in \mathbb{R}} \right) \wedge \left( {y = p(x)} \right)} \right\} \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}\qquad(9) .

Enakost polinomov[uredi | uredi kodo]

Polinoma

p_n (x) = a_n x^n  + a_{n - 1} x^{n - 1}  +  \cdots  + a_2 x^2  + a_1 x + a_0 ,\;a_n  \ne 0

in

q_m (x) = b_m x^m  + b_{m - 1} x^{m - 1}  +  \cdots  + b_2 x^2  + b_1 x + b_0 ,\;b_m  \ne 0

sta med seboj enaka, če se ujemata v stopnji (n = m) in v vseh koeficientih (za vsak k ≤ n velja ak = bk).

Računske operacije nad polinomi[uredi | uredi kodo]

Nad polinomi lahko izvajamo naslednje računske operacije:

Za računske operacije, ki jih izvajamo nad polinomi veljajo enaki računski zakoni kot za računanje s celimi števili.

Množenje polinoma s konstanto[uredi | uredi kodo]

Pri množenju polinoma s konstanto množimo vse njegove člene s to konstanto:

(c \cdot p)(x) = \sum_{k = 0}^{n} ca_{k} x^k  ,c \in \mathbb{R}\qquad(10) .

Seštevanje polinomov[uredi | uredi kodo]

Seštevanje dveh ali več polinomov izvajamo tako, da seštevamo med seboj člene z enakimi potencami. Stopnja vsote je manjša ali kvečjemu enaka najvišji stopnji izmed vseh polinomov v vsoti.

(p_{n}  + q_{m})(x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^k  + \sum_{l = 0}^{m} b_{l} x^l  = \sum_{k = 0}^{\max (m,n)} (a_{k}  + b_{k } )x^k\qquad(11)

Odštevanje polinomov[uredi | uredi kodo]

Odštevanje polinomov je nasprotna računska operacija seštevanju, zato za odštevanje polinomov veljajo enaka pravila kot za seštevanje:

(p_{n}  - q_{m})(x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^k  - \sum_{l = 0}^{m} b_{l} x^l  = \sum_{k = 0}^{\max (m,n)} (a_{k}  - b_{k } )x^k\qquad(12) .

Množenje polinomov[uredi | uredi kodo]

Polinome med seboj množimo po distributivnostnem pravilu ali pravilu o razčlenjevanju.

(p_{n}  \cdot q_{m} )(x) = \left( {\sum_{k = 0}^{n} a_{k } x^k } \right) \cdot \left( {\sum_{l = 0}^{m} b_{l } x^l } \right) = \sum_{k = 0}^{n} {\sum_{l = 0}^{m} a_{k} b_{l } x^{k + l} }  = \sum_{i = 0}^{n + m} {\left( {\sum_{k + l = i}^{} a_{k} b_{l } } \right)} x^i\qquad(13)

Velja naslednje: Vodilni koeficient produkta dveh ali več polinomov je enak produktu vodilnih koeficientov posameznih polinomov. Prosti člen produkta dveh ali več polinomov je prav tako enak produktu prostih členov posameznih polinomov. Stopnja produkta dveh ali več polinomov je enaka vsoti stopenj posameznih polinomov.

Deljenje polinomov[uredi | uredi kodo]

Pri deljenju polinomov se oprimemo osnovnega izreka o deljenju, ki pravi: Za poljubna polinoma p stopnje n in q stopnje m, kjer velja n > m, obstajata natanko določena polinoma k in r, tako da velja

p_{n} (x) = k_{n - m} (x) \cdot q_{m} (x) + r(x)\qquad(14) .

Polinom k imenujemo količnik (stopnje n - m), polinom r pa ostanek (stopnje 0 ≤ st(r) < m).

Deljenje polinoma p s polinomom (x − a)[uredi | uredi kodo]

Posebej zanimiv primer deljenja je deljenje polinoma p z linearnim polinomom oblike (x − a). Ker je stopnja ostanka vedno manjša od stopnje delitelja, mora biti ostanek pri takem deljenju stopnje 0 - ostanek je torej konstanten polinom (število):

p(x)=(x-a)\,k(x) + o

Če v zgornjo enakost vstavimo vrednost x = a, se izkaže, da je vrednost p(a) ravno enaka zgoraj omenjenemu ostanku. Torej velja pomembna zakonitost:

Ostanek pri deljenju polinoma p s polinomom (x − a) je vedno enak kot vrednost polinoma p v točki a.

Če je število a ničla polinoma p, je ostanek seveda enak 0 in to pomeni, da lahko polinom zapišemo v obliki produkta dveh faktorjev:

p(x)=(x-a)\,q(x)

Razcep polinomov[uredi | uredi kodo]

Če poznamo vse ničle, lahko polinom stopnje n zapišemo v razcepljeni (ničelni) obliki:

p(x)=A(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)

Število A je vodilni koeficient polinoma, števila a1, a2, ..., an pa so ničle.

Pri tem se lahko upravičeno vprašamo, ali polinom sploh ima ničle. Obstoj ničel zagotavlja osnovni izrek algebre (imenovan tudi Gaussov izrek). Žal pa ne obstaja noben splošni postopek, s katerim bi lahko izračunali vse ničle katerega koli polinoma. Pri iskanju ničel si zato pomagamo z različnimi postopki, med katerimi so najpomembnejši:

Glej tudi[uredi | uredi kodo]