Zvezna funkcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Zvézna fúnkcija je v matematiki funkcija, pri kateri majhna sprememba podatka povzroči majhno spremembo funkcijske vrednosti. Graf zvezne funkcije je nepretrgan.

Matematična definicija[uredi | uredi kodo]

Zveznost nas po navadi zanima pri realnih funkcijah realne spremenljivke. Zveznost funkcije v okolici točke a definiramo z definicijo epsilon-delta, ki jo je vpeljal Augustin Louis Cauchy:

Funkcija f je v točki a zvezna, če za poljubno majhno pozitivno število ε obstaja pozitivno število δ, tako da velja:

(Razlaga: če se x za manj kot δ razlikuje od a, potem se f(x) za manj kot ε razlikuje od f(a).)

Zveznost lahko definiramo tudi z limito funkcije: Funkcija je v točki a zvezna, če in samo če je limita v tej točki enaka funkcijski vrednosti, tj.:

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Zgledi zveznih funkcij:

Graf funkcije signum

Za zgled nezveznosti si oglejmo funkcijo signum (funkcijo predznaka), ki je definirana kot:

Ta funkcija je sicer povsod definirana, vendar pa v točki 0 ni zvezna - graf se tam pretrga.

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

Obliko definicije (ε, δ) zveznosti je prvi podal Bernard Bolzano leta 1817. Cauchy je pri definiciji zveznosti funkcije upošteval, da neskončno majhni prirastek neodvisne spremenljivke zmeraj povzroči neskončno majhno spremembo odvisne spremenljivke y. (glej npr. Cours d'Analyse, str. 34). Neskončno majhne količine je definiral s pomočjo spremenljivih količin, njegova definicija zveznosti ustreza sodobni definiciji infinitezimal (glej mikrozveznost). Formalno definicijo in razliko med zveznostjo po točkah in enakomerno zveznostjo je prvi podal Bolzano v 1830-ih, vendar njegovo delo ni bilo objavljeno do 1930-ih. Eduard Heine je pripravil prvo objavljeno definicijo enakomerne zveznosti leta 1872, ki je temeljila na zamislih iz predavanj o določenih integralih Johanna Petra Gustava Lejeunea Dirichleta leta 1854.[1]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]

  • Rusnock, P.; Kerr-Lawson, A. (2005). "Bolzano and uniform continuity". Historia Mathematica 32 (3): 303–311.