Harmonična vrsta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Harmónična vŕsta je v matematiki divergentna vrsta:

Tako se imenuje, ker so valovne dolžine delnih tonov nihajoče strune sorazmerne z 1, 1/2, 1/3, 1/4, ··· . Vsak člen vrste za prvim je harmonična sredina sosednjih dveh členov, predhodnega in naslednjega, . Na primer:

Zaporedje členov s takšnimi značilnostmi je harmonično zaporedje, harmonična vrsta pa je vsota harmoničnega zaporedja (vsota členov harmoničnega zaporedja).

Tudi izraz harmonična sredina izvira iz glasbe.

Vrsta divergira, sicer počasi, k neskončnosti (vsota prvih 1043 členov je manj kot 100). To se lahko lepo pokaže z dejstvom, da je harmonična vrsta po členih večja ali enaka z vrsto:

ki očitno divergira. Ta dokaz je podal Nicole Oresme v 14. stoletju in predstavlja enega od viškov srednjeveške matematike. Kasneje so dokaze podali Pietro Mengoli, Johann in Jakob Bernoulli v 17. stoletju. Celo vsota obratnih vrednosti praštevil divergira k neskončnosti, čeprav je to težje dokazati.

Konvergenca alternirajoče harmonične vrste[uredi | uredi kodo]

Prvih štirinajst delnih vsot alternirajoče harmonične vrste (črni odseki) kaže njeno konvergenco k naravnemu logaritmu od 2 (rdeča premica)

Alternirajoča harmonična vrsta na drugi strani konvergira - je pogojno konvergentna:

Konvergenco alternirajoče harmonične vrste je leta 1650 v članku dokazal Mengoli. Ta enakost je posledica Mercatorjeve vrste, Taylorjeve vrste za naravni logaritem. Po obliki Mercatorjevi vrsti sorodna je vrsta:

To je posledica razvoja krožne fukncije arkus tangens v Taylorjevo vrsto, katere konvergenčni polmer je enak 1.

Delne vsote[uredi | uredi kodo]

n-ta delna vsota harmonične vrste:

se imenuje n-to harmonično število.

Razlika med n-tim harmoničnim številom in naravnim logaritmom od n konvergira k Euler-Macheronijevi konstanti:

Razlika med dvema različnima harmoničnima številoma ni nikoli celo število.

Splošna harmonična vrsta[uredi | uredi kodo]

Splošna harmonična vrsta ima obliko:

kjer sta konstanti a in b končni realni števili.

Vse splošne harmonične vrste divergirajo.[1]

Sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Art of Problem Solving: "General Harmonic Series" (angleščina). Pridobljeno dne 2009-10-05. 

Glej tudi[uredi | uredi kodo]