Mnogokotniško število

Mnogokótniško števílo je v matematiki število, ki ga lahko razmestimo v obliki pravilnega mnogokotnika. Antični matematiki so ugotovili, da lahko števila razvrstimo na posebne načine, če si jih zamislimo kot kamenčke ali semena. Na primer število 10 lahko razmestimo v obliko trikotnika (glej trikotniško število):

   x
  x x
 x x x
x x x x

Števila 10 ne moremo postaviti v obliki kvadrata. Na drugi strani lahko tako postavimo število 9 (glej kvadratno število):

x x x
x x x
x x x

Nekatera števila, kot na primer 36, lahko razporedimo kot kvadrat ali kot trikotnik (glej trikotniško kvadratno število):

  x x x x x x
  x x x x x x
  x x x x x x
  x x x x x x
  x x x x x x
  x x x x x x
       x
      x x
     x x x
    x x x x
   x x x x x
  x x x x x x
 x x x x x x x
x x x x x x x x

Neko mnogokotniško število povečamo s tem, da razširimo dve sosednji roki za eno točko in med točkami dodamo želeno število strani. Na naslednjih skicah, dodatni nivo prikažemo z znakom +.

Trikotniška števila

1:

+               x

3:

 x               x
+ +             x x

6:

  x               x
 x x             x x
+ + +           x x x

10:

   x               x
  x x             x x
 x x x           x x x
+ + + +         x x x x

Kvadratna števila

1:

+               x

4:

x +             x x
+ +             x x

9:

x x +           x x x
x x +           x x x
+ + +           x x x

16:

x x x +         x x x x
x x x +         x x x x
x x x +         x x x x
+ + + +         x x x x

Tudi mnogokotnike z večjim številom stranic, kot so petkotniki ali šestkotniki lahko predstavimo kot razvrstitve točk. Po dogovoru je 1 prvo mnogokotniško število za poljubno število stranic:

Petkotniška števila

1:

+                   x

5:

 x                   x
+ +                 x x
+ +                 x x

12:

   x                   x
  x x                 x x
+ x x +             x x x x
+     +             x     x
+  +  +             x  x  x

22:

     x                   x
    x x                 x x
  x x x x             x x x x
+ x     x +         x x     x x
+ x  x  x +         x x  x  x x
+         +         x         x
+  +   +  +         x  x   x  x

35:

       x                   x
      x x                 x x
    x x x x             x x x x
  x x     x x         x x     x x
+ x x  x  x x +     x x x  x  x x x
+ x         x +     x x         x x
+ x  x   x  x +     x x  x   x  x x
+             +     x             x
+  +   +   +  +     x  x   x   x  x

Šestkotniška števila

1:

 x

6:

    x               x
  +   +           x   x 
  +   +           x   x
    +               x 

15:

     x                 x 
   x   x             x   x  
 + x   x +         x x   x x
 +   x   +         x   x   x
 +       +         x       x
   +   +             x   x 
     +                 x  

28:

        x                       x  
      x   x                   x   x   
    x x   x x               x x   x x
  + x   x   x +           x x   x   x x 
  + x       x +           x x       x x
  +   x   x   +           x   x   x   x
  +     x     +           x     x     x
    +       +               x       x 
      +   +                   x   x  
        +                       x   

45:

          x                           x
        x   x                       x   x  
      x x   x x                   x x   x x   
    x x   x   x x               x x   x   x x
  + x x       x x +           x x x       x x x 
  + x   x   x   x +           x x   x   x   x x
  + x     x     x +           x x     x     x x
  +   x       x   +           x   x       x   x
  +     x   x     +           x     x   x     x
    +     x     +               x     x     x 
      +       +                   x       x  
        +   +                       x   x   
          +                           x    

66:

          x                             x
        x   x                         x   x
      x x   x x                     x x   x x
    x x   x   x x                 x x   x   x x
  x x x       x x x             x x x       x x x
+ x x   x   x   x x +         x x x   x   x   x x x
+ x x     x     x x +         x x x     x     x x x
+ x   x       x   x +         x x   x       x   x x
+ x     x   x     x +         x x     x   x     x x
+   x     x     x   +         x   x     x     x   x
+     x       x     +         x     x       x     x
  +     x   x     +             x     x   x     x
    +     x     +                 x     x     x
      +       +                     x       x
        +   +                         x   x
          +                             x

91:

            x                             x
          x   x                         x   x
        x x   x x                     x x   x x
      x x   x   x x                 x x   x   x x
    x x x       x x x             x x x       x x x
  x x x   x   x   x x x         x x x   x   x   x x x
+ x x x     x     x x x +     x x x x     x     x x x x
+ x x   x       x   x x +     x x x   x       x   x x x
+ x x     x   x     x x +     x x x     x   x     x x x
+ x   x     x     x   x +     x x   x     x     x   x x
+ x     x       x     x +     x x     x       x     x x
+   x     x   x     x   +     x   x     x   x     x   x
+     x     x     x     +     x     x     x     x     x
  +     x       x     +         x     x       x     x
    +     x   x     +             x     x   x     x
      +     x     +                 x     x     x
        +       +                     x       x
          +   +                         x   x
            +                             x

Če je s število stranic mnogokotnika, je enačba za n-to s-mnogokotniško število:

${\frac {n((s-2)n+4-s)}{2}}\!\,.$

ime	enačba	n=1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Trikotniško	½n(1n + 1)	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	66	78	91
Kvadratno	½n(2n - 0)	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169
Petkotniško	½n(3n - 1)	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	176	210	247
Šestkotniško	½n(4n - 2)	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	231	276	325
Sedemkotniško	½n(5n - 3)	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	286	342	403
Osemkotniško	½n(6n - 4)	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	341	408	481
Devetkotniško	½n(7n - 5)	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325	396	474	559
Desetkotniško	½n(8n - 6)	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	451	540	637
11-kotniško	½n(9n - 7)	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415	506	606	715
12-kotniško	½n(10n - 8)	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460	561	672	793
13-kotniško	½n(11n - 9)	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505	616	738	871
14-kotniško	½n(12n - 10)	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	671	804	949
15-kotniško	½n(13n - 11)	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595	726	870	1027
16-kotniško	½n(14n - 12)	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640	781	936	1105
17-kotniško	½n(15n - 13)	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685	836	1002	1183
18-kotniško	½n(16n - 14)	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	891	1068	1261
19-kotniško	½n(17n - 15)	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775	946	1134	1339
20-kotniško	½n(18n - 16)	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820	1001	1200	1417
21-kotniško	½n(19n - 17)	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865	1056	1266	1495
22-kotniško	½n(20n - 18)	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910	1111	1332	1573
23-kotniško	½n(21n - 19)	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955	1166	1398	1651
24-kotniško	½n(22n - 20)	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000	1221	1464	1729
25-kotniško	½n(23n - 21)	1	25	72	142	235	351	490	652	837	1045	1276	1530	1807
26-kotniško	½n(24n - 22)	1	26	75	148	245	366	511	680	873	1090	1331	1596	1885
27-kotniško	½n(25n - 23)	1	27	78	154	255	381	532	708	909	1135	1386	1662	1963
28-kotniško	½n(26n - 24)	1	28	81	160	265	396	553	736	945	1180	1441	1728	2041
29-kotniško	½n(27n - 25)	1	29	84	166	275	411	574	764	981	1225	1496	1794	2119
30-kotniško	½n(28n - 26)	1	30	87	172	285	426	595	792	1017	1270	1551	1860	2197
s = 25	⁠1/2⁠(23n2 − 21n)	1	25	72	142	235	351	490	652	837	1045	1276

Glej tudi

• središčno mnogokotniško število
• Fermatov izrek o mnogokotniških številih

Viri

• David Wells (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. London : Penguin Books. ISBN 0140261494.

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Polygonal Number«. MathWorld.