Laurentova vrsta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Laurentova vrsta je definirana glede na dano točko in krivuljo integracije . Pot integracije mora ležati v krožnem kolobarju (rdeče), znotraj katerega je holomorfna (analitična). Na abscisi in ordinati kompleksne ravnine sta in .

Laurentova vŕsta [loranova ~] kompleksne funkcije je v matematiki predstavitev funkcije kot (neskončne) potenčne vrste, ki obsega tudi člene z negativnim indeksom. Uporablja se npr. tam kjer za kompleksno funkcijo ni mogoče uporabiti Taylorjeve vrste. Na primer, če funkcija vsebuje singularnost. Vrsta se imenuje po Pierru Alphonsu Laurentu, ki jo je prvi objavil leta 1843. Verjetno jo je že leta 1841 odkril Karl Weierstrass, vendar je do tedaj ni objavil.

Laurentova vrsta kompleksne funkcije okrog točke je dana z:

kjer so konstante, ki se jih dobi z rešitvijo krivuljnega integrala, kar je posplošitev Cauchyjeve integralske formule:

Krivulja po kateri se integrira je pozitivno orientirana (giblje se v smeri nasprotni urinemu kazalcu), zaprta, odsekoma gladka brez presekov s samo seboj, ograjuje in leži v krožnem kolobarju s središčem v , kjer je funkcija holomorfna (analitična). Razvoj bo na ta način veljaven povsod znotraj krožnega kolobarja. Krožni kolobar je na sliki desno prikazan rdeče, zgled ustrezne poti integracije je označen z . Če se za vzame krožnico , kjer je , se naloga prevede na računanje kompleksnih Fourierjevih koeficientov z omejitvijo na . Dejstvo, da se ti integrali pri deformaciji krivulje ne spremenijo, predstavlja neposredno posledico (posplošenega) Stokesovega izreka.

V praksi zgornja integralska formula ne omogoča najbolj praktične metode za računanje koeficientov za dano funkcijo . Velikokrat je treba sestaviti skupaj Laurentove vrste s kombinacijo znanih razvojev v Taylorjevo vrsto. Ker je razvoj v Laurentovo vrsto, če obstaja, edin, mora pravzaprav biti vsak izraz te oblike, ki je dejansko enak dani funkciji v kakšnem krožnem kolobarju, že razvoj v Laurentovo vrsto.

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]