Trikotniško število

Trikótniško števílo je v matematiki število, ki predstavlja število objektov, ki jih lahko razmestimo v obliko (enakostraničnega) trikotnika. Trikotniška števila so poseben primer splošnejših figurativnih (oziroma mnogokotniških) števil.

Po dogovoru je 1 prvo trikotniško število. Prva trikotniška števila za n > 0 so (OEIS A000217):

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, ...

1:

+               x

3:

 x               x
+ +             x x

6:

  x               x
 x x             x x
+ + +           x x x

10:

   x               x
  x x             x x
 x x x           x x x
+ + + +         x x x x

15:

    x               x 
   x x             x x 
  x x x           x x x 
 x x x x         x x x x 
+ + + + +       x x x x x

21:

     x               x 
    x x             x x 
   x x x           x x x 
  x x x x         x x x x 
 x x x x x       x x x x x 
+ + + + + +     x x x x x x

Vsako n-to trikotniško število je oblike (n/2)(n+1) ali (1+2+3+...+n-2+n-1+n), oziroma v obliki binomskega koeficienta:

a_{n}={n+1 \choose 2}

Rekurzivna definicija pa je:

a_{1}=1\,

a_{n}=a_{n-1}+n\,

Znano trikotniško število je 36. trikotniško število 666 (Število Zveri). Vsako popolno število je trikotniško.

Vsota dveh zaporednih trikotniških števil je kvadratno število. Na primer 21 + 28 = 49 = 7². To lahko pokažemo tudi splošno: vsota n-tega in (n-1)-tega trikotniškega števila je {½n(n+1)} + {½(n-1)n}. Če poenostavimo, dobimo (½n²+½n) + (½n²-½n) in tako n². To lastnost se da pokazati tudi shematično:

x + + +
x x + +
x x x +
x x x x

x + + + +
x x + + +
x x x + +
x x x x +
x x x x x

V obeh primerih dobimo kvadrat iz dveh spojenih trikotnikov.

Trikotniška števila so zelo povezana z drugimi figurativnimi števili, kakor tudi s središčnimi figurativnimi števili. Petkotniška števila so tretjina odgovarjajočega trikotniškega števila. Vsako šestkotniško število je trikotniško, obratno pa ne velja zmeraj. Središčno šestkotniško število je trikotniško število pomnoženo s 6 in sešteto z 1. Vsako trikotniško število za dani n je polovica podolžnega števila.

Glej tudi

Zunanje povezave

Teorija arhitekturnega oblikovanja in kompozicije Arhivirano 2005-03-02 na Wayback Machine.