Funkcijska vrsta

Funkcijska vrsta je vrsta, katere členi so funkcije.

Konvergenca

Funkcijska vrsta konvergira (je definirana) za tiste vrednosti x, za katere konvergira temu x pripadajoča številska vrsta.

Zgled

Funkcijska vrsta $1+{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{2}}}+\ldots \,$ konvergira pri $x=2\,$, saj konvergira vrsta $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+\ldots \,$ in divergira (ni definirana) npr. za ${\frac {1}{3}}\,$, saj številsta vrsta $1+3+9+\ldots \,$ divergira.

Enakomerna konvergenca funkcijske vrste

Funkcijska vrsta konvergira enakomerno na intervalu $[a,b]\,$, če za vsak $\epsilon \ >0\,$ obstaja tak $n\,$, da je $|S_{n}(x)-S_{p}(x)|<\epsilon \,$ za vsak $x\in \left[a,b\right]\,$. $S_{n}(x)=u_{1}(x)+u_{2}(x)+\ldots +u_{n}(x)\,$. Ta pogoj se imenuje Cauchyev pogoj za enakomerno konvergentne vrste.

Glej tudi

• potenčna vrsta
• Taylorjeva vrsta
• Fourierova vrsta
• binomska vrsta