Binomska vrsta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Binomska vrsta je funkcijska vrsta funkcije (1+x)^{m}\, .

Če se razvije polinom:

 f(x)=( 1 + x )^m \!\,

okrog točke 0:

 ( a = 0 ), m\in\mathbb{R} \!\, v Taylorjevo vrsto
 f^{\prime}(x)=m(1+x)^{m-1} \quad f^{\prime}(0)=0 \!\,
 f^{\prime\prime}(x)=m(m-1)(1+x)^{m-2} \qquad f^{\prime\prime}(0)=1 \!\,
 f^{(k)}(x)=m(m-1) \ldots (m-k+1)(1+x)^{m-k} \!\, .

Opomba: če je m\in\mathbb{N}\, , ima vrsta končno členov - od (m+1)\, dalje so vsi enaki 0.

Če m\notin\mathbb{N}\, , m\ne 0\, , ima vrsta neskončno členov, se dobi:

 f(x) = (1+x)^m = 1 + \frac{m}{1!}x + \frac {m(m-1)}{2!}x^2 + \ldots + \frac {m(m-1) \ldots (m-k+1)}{k!} x^k \!\, .

Definira se binomski simbol:

 {m \choose k} = \frac{m(m-1) \ldots (m-k+1)}{k!}; \qquad m\in\mathbb{R} \quad k\in\mathbb{N}\cup{0} \!\,
 {n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}; \qquad m\in\mathbb{R} \quad k\in\mathbb{N}\cup{0} \!\,

in tako je binomska vrsta:

 (1+x)^m = \sum_{k=0}^\infty {m \choose k}x^k \!\, .

Konvergenca vrste[uredi | uredi kodo]

Binomska vrsta konvergira na območju s konvergenčnim polmerom:

 M = \lim_{z\rightarrow \infty} f(z)= \left | \frac{a_n}{a_{n+1}} \right | = \frac {{m \choose n}}{{m+1 \choose n+1}}= \lim_{n\rightarrow \infty} \left | \frac{n+1}{m-n} \right | = 1 \!\, .

Konvergira za |x| < 1\, .