Binomska vrsta

Binomska vrsta je funkcijska vrsta funkcije $(1+x)^{m}\,$.

Če se razvije polinom:

$f(x)=(1+x)^{m}\!\,$

okrog točke 0:

$(a=0),m\in \mathbb {R} \!\,$ v Taylorjevo vrsto

$f^{\prime }(x)=m(1+x)^{m-1}\quad f^{\prime }(0)=0\!\,$

$f^{\prime \prime }(x)=m(m-1)(1+x)^{m-2}\qquad f^{\prime \prime }(0)=1\!\,$

$f^{(k)}(x)=m(m-1)\ldots (m-k+1)(1+x)^{m-k}\!\,.$

Opomba: če je $m\in \mathbb {N} \,$, ima vrsta končno členov - od $(m+1)\,$ dalje so vsi enaki 0.

Če $m\notin \mathbb {N} \,$, $m\neq 0\,$, ima vrsta neskončno členov, se dobi:

$f(x)=(1+x)^{m}=1+{\frac {m}{1!}}x+{\frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+\ldots +{\frac {m(m-1)\ldots (m-k+1)}{k!}}x^{k}\!\,.$

Definira se binomski simbol:

${m \choose k}={\frac {m(m-1)\ldots (m-k+1)}{k!}};\qquad m\in \mathbb {R} \quad k\in \mathbb {N} \cup {0}\!\,$

${n \choose k}={\frac {n!}{(n-k)!k!}};\qquad m\in \mathbb {R} \quad k\in \mathbb {N} \cup {0}\!\,$

in tako je binomska vrsta:

$(1+x)^{m}=\sum _{k=0}^{\infty }{m \choose k}x^{k}\!\,.$

Konvergenca vrste

Binomska vrsta konvergira na območju s konvergenčnim polmerom:

$M=\lim _{z\rightarrow \infty }f(z)=\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|={\frac {m \choose n}{m+1 \choose n+1}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n+1}{m-n}}\right|=1\!\,.$

Konvergira za $|x|<1\,$.