Fourierove vrste v matematiki omogočajo razstavljanje poljubne periodične funkcije ali periodičnega signala v vsoto (po možnosti končno) skupine periodičnih funkcij kot sta sinus in kosinus. Proučevanje Fourierovih vrst je veja Fourierove analize.
Tako se lahko na primer funkcijo
razvije v neskončno vrsto po sinusih:

Lahko pa se neko drugo funkcijo
razvije v neskončno vrsto po kosinusih:

Pri tem obe funkciji ohranita nekatere osnovne značilnosti, kot so periodičnost, lihost (ali sodost), vrednost pri
in
.
Imenujejo se po francoskem fiziku in matematiku Josephu Fourieru (1768–1830).
Fourierov obrazec za periodične funkcije[uredi | uredi kodo]
Naj je periodična funkcija
s periodo
, ki je integrabilna na intervalu
. Števila:

in:

se imenujejo Fourierovi koeficienti za funkcijo
.
Včasih se uporablja tudi Fourierove vrste za
, ki se jih označuje z:
![{\displaystyle (S_{N}f)(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\,[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)],\quad N\geq 0\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8f12345b4d12a47a0f27134cde5940863722cd)
Delne vsote za
so trigonometrični polinomi. Pričakuje se, da funkcije
za
dajejo približek, ki se približuje vrednosti za
, ko gre
proti neskončnosti. Neskončna vsota v obliki:
![{\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\,[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)]\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c5775836e266992c561bd980039ec508c0b2ec)
se imenuje Fourierova vrsta za
.
Fourierova vrsta ne konvergira vedno, saj se včasih celo za neko vrednost
vsota vrste v tej točki razlikuje od vrednosti
te funkcije. Harmonična analiza je področje, ki se ukvarja s konvergenco Fourierovih vrst. Kadar je kvadrat funkcije integrabilen na intervalu
, takrat Fourierova vrsta konvergira skoraj v vsaki točki. Predpostavi se lahko, da Fourierova vrsta konvergira v vsaki točki razen v točkah nezveznosti.
Animacija prvih petih zaporednih delnih Fourierovih vrst.
V zgledu se obravnava žagasti val in se ga razvije v Fourierovo vrsto. Žagasti val se opiše z naslednjo funkcijo:


V tem primeru se dobi za Fourierove koeficiente:

Lahko se dokaže, da Fourierova vrsta konvergira k vrednosti
v vsaki točki, kjer je funkcija
diferenciabilna. Torej se lahko zapiše:
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\&=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {za} \quad x-\pi \notin 2\pi Z.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f82a5e316c6858f5fcc23d65706616c26cfc2e6)
Eksponentna Fourierova vrsta[uredi | uredi kodo]
Uporabi se Eulerjev obrazec, ki ima obliko:

kjer je:
S tem se dobi bolj zgoščeno obliko za Fourierovo vrsto:

Fourierovi koeficienti pa so:



in:

Zelo primerno je uporabiti obliko za
tako, da se dobi obrazec v obliki:

V tehniki se pogosto uporablja naslednjo obliko:
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F[n]\cdot e^{inx}\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9911268c4d6dfeac4496df4cd972066c30bffa25)
kjer:
pomeni, da je uporabljena nezvezna domena frekvenc. Zelo pogosto v tehniki spremenljivka
predstavlja čas.
Fourierove vrste v splošnem intervalu[uredi | uredi kodo]
Obravnava se splošni interval
, kjer je s periodo
za vsa realna števila definirana funkcija
s kompleksnimi koeficienti
. Lahko se zapiše:
![{\displaystyle g(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }G[n]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{\tau }}x}\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8993f1f3c2074c58609db8e5cd78c485c458e6d)
Če je funkcija kvadratno integrabilna (velja:
), v intervalu
, se jo lahko v tem intervalu prikaže z zgornjim obrazcem. To pa pomeni, da takrat, ko se dobi koeficiente za funkcijo
z:
![{\displaystyle G[n]={\frac {1}{\tau }}\int _{a}^{a+\tau }h(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {n}{\tau }}x}\,\mathrm {d} x\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67f54c362073393724cd2c244e76f630b53b91d)
potem je
povsod na intervalu
enak
. Iz tega sledi, da ima
periodo enako
in, da naslednje
- sta
in
povsod enaka, razen na mestih nezveznosti
se lahko poljubno izbere. Najpogosteje se izbere
in
.
Fourierove vrste v kvadratu[uredi | uredi kodo]
Definira se lahko tudi Fourierove vrste za dve spremenljivki x in y v kvadratu
:

kjer je:

Če se obravnava Hilbertove prostore, množica funkcij
tvori ortonormalno bazo prostora
za kvadratno integrabilne funkcije v
. Ta prostor je Hilbertov prostor z notranjim produktom za poljubna dva elementa
in
, ki je definiran kot:

Osnovne Fourierove vrste v Hilbertovih prostorih se lahko zapiše kot:

To pa je enakovredno s kompleksno eksponentno obliko (glej zgoraj). Oblika s sinusom in kosinusom tvori ortogonalno množico:



kjer je:
Funkcija
pripada
, če je
funkcija s periodo
nad
in, če je ta k-krat odvedljiva in je k-ti odvod zvezen. Označi se n-ti Fourierov koeficient z
.
- če je
periodična liha funkcija, potem so
za vse 
- če je
periodična soda funkcija, potem so
za vse 
- če je
integrabilna funkcija velja
ter
in
. To je Riemann-Lebesguov izrek
- dvojno neskončno zaporedje
v
je zaporedje Fourierovih koeficientov funkcije v
, če in samo če je to konvolucija v 
- Parsevalov izrek: če je
, potem je tudi 
- Plancherelov izrek: če so
koeficienti in velja
, potem obstaja funkcija
tako, da velja
za vsak 
- prvi konvolucijski izrek pravi, da takrat, ko sta
in
v L1([−π, π]), potem velja tudi
, kjer je ƒ ∗ g konvolucija s periodo
funkcij
in 
- drugi konvolucijski izrek pravi, da je
.
Obstaja več vrst posplošitev Fourierovih vrst. Njihovo proučevanje se imenuje harmonična analiza.
Približki in konvergenca Fourierovih vrst[uredi | uredi kodo]
- Glej tudi: Gibbsov pojav
Gibbsov pojav
Približek reda 10 za pravokotni val.
|
Približek reda 50 za pravokotni val.
|
Približek reda 250 za pravokotni val.
|
Zelo pomembno vprašanje je povezano s konvergenco Fourierovih vrst. Pogosto je treba zamenjati neskončno vrsto
s končno:
. Takšna vrsta se imenuje delna vsota. Želi se vedeti kako vrednost
konvergira k
, ko gre
proti neskončnosti.
Divergenca Fourierovih vrst[uredi | uredi kodo]
Fourierove vrste so izredno dobro konvergentne. Vrste, ki bi bile divergentne so zelo redke. V letu 1922 je ruski matematik Andrej Nikolajevič Kolmogorov (1903–1987) v enem svojih del podal primer integrabilne funkcije, katere Fourierova vrsta je skoraj povsod divergentna.