Hilbertov prostor

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
S Hilbertovimi prostori se lahko preučujejo nihajoče strune

Hilbertov prôstor [hílbertov ~] je v matematiki posplošitev pojma evklidskega prostora. Imenuje se po Davidu Hilbertu. Pojem razširja metode vektorske algebre in infinitezimalnega računa iz dvorazsežne evklidske ravnine in trirazsežnega prostora na prostore s končnim ali neskončnim številom razsežnosti. Hilbertov prostor je abstraktni vektorski prostor s strukturo notranjega (skalarnega produkta), v katerem lahko merimo dolžine in kote. Poleg tega morajo biti Hilbertovi prostori polni, z značilnostjo, ki v prostoru določa obstoj dovolj limit, da se lahko uporabljajo tehnike infinitezimalnega računa.

Hilbertovi prostori se pogosto pojavljajo v matematiki, fiziki in tehniki, po navadi kot končnorazsežni funkcijski prostori. Hilbertove prostore so s tega vidika najprej raziskovali Hilbert, Erhard Schmidt in Frigyes Riesz v prvem desetletju 20. stoletja. So nepogrešljivo orodje v teoriji parcialnih diferencialnih enačb, kvantne mehanike, Fourierjevi analizi, vključno z obdelavo signalov in ergodično teorijo, ki tvorijo matematično osnovo termodinamike. John von Neumann je skoval izraz »Hilbertov prostor« za abstraktni pojem, kot osnovo teh raznolikih uporab. Uspeh metod Hilbertovih prostorov je vodil do zelo plodnega obdobja funkcionalne analize. Poleg klasičnih evklidskih prostorov med Hilbertove prostore spadajo tudi: prostori kvadratno integrabilnih funkcij, prostori zaporedij, prostori Soboljeva s posplošenimi funkcijami in Hardyjevi prostori holomorfnih funkcij.

Geometrijska intuicija je pomembna v mnogo vidikih teorije Hilbetovih prostorov. V Hilbertovem prostoru veljata analogona Pitagorovemu izreku in izreku o paralelogramih. Na globljem nivoju je pri optimizacijskih problemih in drugih vidikih teorije pomembna projekcija na podprostor. Element Hilbertovega prostora lahko enolično opišemo z njegovimi koordinatami glede na množico koordinatnih osi (ortonormirana baza), podobno kot s kartezičnima koordinatama v ravnini. Če je ta množica osi števno neskončna, je Hilbertov prostor še vedno uporaben z neskončnimi zaporedji, ki so kvadratno seštevalni. Podobno so linearnih operatorji na Hilbertovem prostoru dovolj stvarni objekti: v dobrih primerih so preprosto transformacije, ki raztegnejo prostor z različnimi faktorji v medseboj pravokotne smeri v smislu, ki ga podrobno obravnava njihova spektralna teorija.