Kvantna mehanika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Kvántna mehánika (tudi kvántna fízika) je fizikalna teorija, ki opisuje obnašanje snovi na majhnih razdaljah. V Sloveniji se izraza kvantna teorija večinoma ne uporablja.

Valovne funkcije elektrona v vodikovem atomu imajo določeno energijo (naraščajoče od zgoraj: n=1,2,3,...) in vrtilno količino (naraščajoče prek: s, p, d,...). Svetlejša področja odgovarjajo višji verjetnostni gostoti za merjenje lege. Vrtilna količina in energija sta kvantizirani in zavzemata le nezvezdne vrednosti, kot jih kažejo slike.

Uvod[uredi | uredi kodo]

Kvantna mehanika ponuja kvantitativno razlago dveh vrst pojavov, ki jih klasična mehanika in klasična elektrodinamika ne moreta pojasniti:

Osnove kvantne mehanike so postavili v prvi polovici 20. stoletja fiziki, kot so Niels Henrik David Bohr, Werner Karl Heisenberg, Erwin Schrödinger, Vladimir Aleksandrovič Fok, Paul Adrien Maurice Dirac, Albert Einstein in drugi. Nekatere osnovne vidike teorije še vedno dejavno raziskujejo, po drugi strani pa izsledke kvantne mehanike že dolgo uporabljajo številne veje fizike in kemije, med njimi fizika kondenzirane snovi, kvantna kemija in fizika osnovnih delcev.

Opis teorije[uredi | uredi kodo]

Kvantna mehanika opisuje trenutno stanje sistema z valovno funkcijo, s katero je povezana verjetnostna gostota vseh merljivih lastnosti ali opazljivk. Opazljivke sistema so lahko energija, lega, gibalna količina, vrtilna količina ipd. V kvantni mehaniki opazljivkam ne moremo pripisati določenih vrednosti, ampak lahko sklepamo le o njihovih verjetnostnih porazdelitvah. Valovno obnašanje snovi lahko pojasnimo z interferenco valovnih funkcij.

Valovne funkcije so lahko odvisne od časa. V nekem trenutku lahko denimo delec v praznem prostoru opišemo z valovno funkcijo, ki je valovni paket s središčem v neki povprečni legi. V nekem poznejšem času se valovni paket spremeni, s tem pa je tudi večja verjetnost, da delec najdemo na nekem drugem mestu. Časovni razvoj valovnih funkcij opisuje Schrödingerjeva enačba.

Nekatere valovne funkcije opisujejo verjetnostne gostote, ki se s časom ne spreminjajo. Mednje sodijo tudi mnogi sistemi, ki bi jih v klasični mehaniki obravnavali dinamično. Zgled je elektron v nevzbujenem atomu, ki ga klasično opisujemo kot delec, ki kroži okoli atomskega jedra, v kvantni mehaniki pa ga opišemo s statičnim krogelno simetričnim oblakom verjetnostne gostote, v katerem središču je atomsko jedro.

Z merjenjem določene opazljivke sistema vedno zmotimo valovno funkcijo, tako da ta zavzame eno od tako imenovanih lastnih stanj te opazljivke. Verjetnost za posamezno lastno stanje določa stanje valovne funkcije, tik preden smo jo zmotili. Za zgled si oglejmo delec, ki se giblje v praznem prostoru. Če izmerimo lego delca, bomo dobili neko naključno vrednost x. V splošnem njene natančne vrednosti ne moremo napovedati vnaprej, je pa verjetneje, da bomo izmerili vrednost blizu središča valovnega paketa, kjer je amplituda verjetnostne gostote večja. V trenutku, ko meritev izvedemo, pa se valovna funkcija »sesede« v lastno stanje, ki je ostro nakopičeno okoli izmerjene vrednosti x.

Med samim procesom sesedanja valovne funkcije za slednjo ne velja Schrödingerjeva enačba. Ta je deterministična v smislu, da za valovno funkcijo v nekem trenutku povsem natančno napoveduje njeno vrednost v nekem poznejšem času. Med meritvijo pa je lastno stanje, v katero se sesede valovna funkcija, določeno verjetnostno in ne deterministično. Verjetnostna narava kvantne mehanike tako izhaja iz samega dejanja merjenja.

Ena od posledic sesedanja valovnih funkcij je ta, da določenih parov opazljivk, kot sta denimo lega in gibalna količina, ne moremo obenem določiti s poljubno natančnostjo. To je znano kot Heisenbergovo načelo nedoločenosti.

Kvantna mehanika je Heisenbergova zasluga, ki je leta 1927 postavil svoje temeljno načelo nedoločenosti. Načelo pravi, da nobenemu nebesnemu, atomskemu ali podatomskemu telesu ne moremo istočasno z enako stopnjo natančnosti določiti lego in hitrost v prostoru. Einstein je kvantno mehaniko zavračal, saj je menil, »da Bog ne kocka«. S tem je poudaril svoje prepričanje, da naj Bog pač ne bi prepuščal, da bi se stvari odvijale zgolj naključno. Angleški teorijski fizik Stephen Hawking, ki trpi zaradi bolezni gibalnih nevronov, zaradi česar je močno ohromljen, je ugotovil, da črne luknje v bistvu »izhlapevajo«. Za vrednost »izhlapevanja« je s pomočjo fizikalnih modelov določil vrednost 1060 let; to je število s 60-imi ničlami, kar je veliko več od starosti Vesolja in jasno določenih starosti najstarejših zvezd (med 12 do 15 milijardami let). Hawking je ugotovil, kakor se je izrazil v svoji zbirki esejev Kratka zgodovina časa, in v zbirki Črne luknje in otroška vesolja, »... Bog ne samo, da rad kocka, ampak vrže kocko tudi tja, kjer je mi ne moremo več zaznati ...« Naključja so prav glavna domena te zanimive teorije, ki je kot protiutež delovala splošni in posebni teoriji relativnosti. Ker so imeli fiziki in drugi znanstveniki veliko težav, ko so poskušali iznajti teorijo vsega in jim to do sedaj še ni uspelo. Ta teorija naj bi združila vse v eni preprosti fizikalni enačbi, ki bi bila prilagodljiva, in bi se jo dalo uporabiti povsod in bi dala odgovore na vsa znana vprašanja. Združila naj bi tudi vse štiri glavne fizikalne sile.

Matematična opredelitev[uredi | uredi kodo]

Medsebojni vpliv z drugimi fizikalnimi teorijami[uredi | uredi kodo]

Primeri uporabe[uredi | uredi kodo]

Prost delec[uredi | uredi kodo]

Vzemimo za primer prost delec. V kvantni mehaniki obstaja dualnost val-delec, tako da lahko lastnosti delca opišemo kot lastnosti vala.Njegovo kvantno stanje lahko lako opišemo kot val poljubne oblike, ki se širi po prostoru kot valovna funkcija. Položaj in gibalna količina sta ori tem observabli. Princip nedoločenosti pravi, da položaja in gibalne količine ni mogoče hkrati izmeriti popolnoma natančno. Merimo pa lahko položaj (samo) gibajočega prostega delca, pri čemer dobimo lastno stanje položaja za valovno funkcijo, ki je zelo visoka (Diracova funkcija delta)za konkretno lego x, in nič povsod drugje. Če za tako valovno funkcijo izmerimo položaj vala, bo rezultat meritve x imel verjetnost 100% (t.j. v celoti točen). Gre za tako imenovano lastno stanje položaja. Za delec, ki je v lastnem stanju za položaj, je gibalna količina popolnoma neznana. Velja tudi obratno: za delec v lastnem stanju za gibalno količino ni mogoče določiti njegovega položaja.[1] Za lastno stanje delca v obliki enostavnega vala je mogoče dokazati, da je njegova valovna dolžina enaka h/p, kjer je h Planckova konstanta in p gibalna količina za lastno stanje.[2]

valovne funkcije za elektron, omejen v 3D, za vsako lastno stanje v kvantni piki. Prikazane so pravokotne in trikotne kvantne pike. Ravni energije so pri pravokotnih pikah bolj vrste ‘s’ in ‘p’. Pri trikotni piki se valovne funkcije mešajo zaradi simetrijv potencialu.

Stopnica v potencialu[uredi | uredi kodo]

Sipanje na končni potencialni stopnici višine V0, zeleno.Nakazane so ampplitude in smer valov, ki se gibljejo na levo in na desno. V rumeni barvi je vpadajoč val, odbiti in prepupleni val sta v modri barvi, rdeče ni. E > V0 za to sliko.

Potencial v tem primeru je:

V(x)= \begin{cases} 0, & x < 0, \\ V_0, & x \ge 0. \end{cases}

Rešitve so superpozicije valov, ki se gibljejo na levo in na desno:

\psi_1(x)= \frac{1}{\sqrt{k_1}} \left(A_\rightarrow e^{i k_1 x} + A_\leftarrow e^{-ik_1x}\right)\quad x<0
\psi_2(x)= \frac{1}{\sqrt{k_2}} \left(B_\rightarrow e^{i k_2 x} + B_\leftarrow e^{-ik_2x}\right)\quad x>0

kjer so valovni vektorji odvisni od energije kot sledi:

k_1=\sqrt{2m E/\hbar^2}, in
k_2=\sqrt{2m (E-V_0)/\hbar^2}

pri čemer koeficienta A in B določajo mejni pogoji in pa pogoj zveznosti za rešitev.

Vsak člen v rešitvi je mogoče razumeti kot vpadno, odbojni in prepuščeni del vala, kar omogoča izračun prepustnega in odbojnegakoeficienta. Zanimivo: v nasprotju s klasično mehaniko, se vpadni delci z energijami nad potencialom stopnice, delno odbijajo.

Pravokotna potencialna bariera[uredi | uredi kodo]

To je model za kvantno tuneliranje, ki igra veliko vlogo v ütevilnih modernih tehnologijah, kot je na primer flash spomin rasterska mikroskopija s tuneliranjem. Kvantno tuneliranje igra osrednjo vlogo pri fizikalnih fenomenih okoli super rešetk.

Delec v škatli[uredi | uredi kodo]

1-dimenzionalni pravokotni potencial (ali vodnjak z neskončnim potencialom)
Glavni članek: delec v škatli.

Delec v enodimenzionalnem vodnjaku je matematično najbolj preprost primer, kjer omejitve v položaju delca privedejo do kvantizacije ravni energije. Škatla ima potencial = 0 znotraj določenega področja in neskončen potencial povsod zunaj tega intervala. Za enodimenzionalni delec v smeri x je mogoče napisati časovno odvisno Schrödingerjevo enačbo[3]

 - \frac {\hbar ^2}{2m} \frac {d ^2 \psi}{dx^2} = E \psi.

Kjer je diferencialni operator definiran kot

 \hat{p}_x = -i\hbar\frac{d}{dx}

Gornja enačba spominja na izraz za kinetično energijo trdih teles iz klasične mehanike,

 \frac{1}{2m} \hat{p}_x^2 = E,

kjer ima stanje \psi v tem primeru energijo E, analogno kinetični energiji delca

Splošne rešitve Schrödingerjeve enačbe za delec v vodnjaku so

 \psi(x) = A e^{ikx} + B e ^{-ikx} \qquad\qquad E =  \frac{\hbar^2 k^2}{2m}

ali s pomočjo Eulerjeve formule,

 \psi(x) = C \sin kx + D \cos kx.\!

Stene vodnjaka z neskončnim potencialom določajo parametre C, D, in k pri x = 0 in x = L, pri čemer mora ψ biti nič. Sledi da je x = 0,

\psi(0) = 0 = C\sin 0 + D\cos 0 = D\!

inD = 0. Pri x = L,

 \psi(L) = 0 = C\sin kL.\!

kjer C ne more biti nič, ker bi bilo v nasprotju z Bornovo interpretacijo. Ker sin(kL) = 0, morakL biti celoštevični zmnožek π,

k = \frac{n\pi}{L}\qquad\qquad n=1,2,3,\ldots.

Kvantizacija energetski ravni sledi iz omejitve za k, ker

E = \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2mL^2} = \frac{n^2h^2}{8mL^2}.

Vodnjak s končnim potencialom[uredi | uredi kodo]

Prejšnji primer je mogoče poslošiti je na vodnjake, ki imajo končno globino.

Problem postane bolj zapleten, saj valovna funkcija ni enaka nič na stenah vodnjaka. Namesto tega mora valovna funkcija zadovoljiti bolj zapletene robne pogoje, glede na to, da je različna od nič tudi izven vodnjaka.

Harmonični oscilator[uredi | uredi kodo]

Nekaj trajektorij za harmonični oscilator (krogla na vzmeti) po klasični (A-B) in kvantni mehaniki (C-H). Lego krogle v kvantni mehaniki predstavlja val (tako imenovana valovna funkcija), katere realni del je prikazan v modri in imaginarni del v redči barvi Nekatere trajektorije (ako C,D,E in F) so stoječi valovi (ali "stacionarna stanja"). Vsaka od frekvenc stoječih valov je premo sorazmerna možni ravni energije oscilatorja. Te "kvantizacije energije" klasična fizika ne pozna, po njej ima oscilator lahko poljubno energijo.

Kot v klasičnem primeru je potencial za kvantni harmonični oscilator podan z

V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2

Problem je mogoče rešiti neposredno, če se reši Schrödingerjeva enačba, kar ni trivialno, ali pa si pomagamo z bolj elegantno "metodo lestve", ki jo je prvi predlagal Paul Dirac. Lastna stanja so dana z:

  \psi_n(x) = \sqrt{\frac{1}{2^n\,n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot e^{
- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar}} \cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right), \qquad n = 0,1,2,\ldots.

kjer so Hn Hermiteovi polinomi,

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x^2}\right)

in ustrezna stanja energije so

 E_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right).

En primer več za kvantizacije energetski ravni v kvantni mehaniki.

Filozofsko razpravljanje[uredi | uredi kodo]

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Davies, P. C. W.; Betts, David S. (1984). Quantum Mechanics, Second edition. Chapman and Hall. str. 79. ISBN 0-7487-4446-0. , Chapter 6, p. 79
  2. ^ Baofu, Peter (2007-12-31). The Future of Complexity: Conceiving a Better Way to Understand Order and Chaos. ISBN 9789812708991. Pridobljeno dne 2012-08-18. 
  3. ^ Derivation of particle in a box, chemistry.tidalswan.com