Gibalna količina

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Gibálna količína je fizikalna količina, enaka zmnožku mase in hitrosti točkastega telesa. Pri razsežnem telesu upoštevamo hitrost težišča.

Gibalna količina je naboj Noetherjeve za translacijsko invariantnost. Kot taka lahko imajo gibalno količino tudi polja in druge stvari in ne samo delci. V ukrivljenem prostor-času, ki ni asimptotično enak prostoru Minkowskega, gibalna količina sploh ni definirana.

Gibalna količina v klasični mehaniki[uredi | uredi kodo]

V klasični mehaniki je gibalna količina (navadno jo označujemo z G, v angleških virih tudi s p) vektorska količina, enaka produktu mase in hitrosti telesa. V mednarodnem sistemu enot merimo gibalno količino v newton-sekundah, kar lahko izrazimo z osnovnimi enotami: kg·m/s.

Izrek o gibalni količini pove, da je skupni sunek zunanjih sil enak spremembi gibalne količine. Diferencialno obliko tega izreka lahko zapišemo kot:

 \vec\mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}\vec\mathbf{G}}{\mathrm{d}t} \!\, .

Gibalna količina telesa je enaka produktu mase telesa in njegove hitrosti:

 \vec\mathbf {G} = m \vec\mathbf {v} \!\, .

Po analogiji z gibalno količino za premo gibanje je vpeljana tudi vrtilna količina za vrtenje.

Gibalna količina v relativistični mehaniki[uredi | uredi kodo]

Splošno mnenje je, da morajo biti fizikalni zakoni invariantni na premik. Definicijo gibalne količine moramo zato v posebni teoriji relativnosti nekoliko prilagoditi, da bo ostala invariantna. Zato definiramo četverec gibalne količine:

 P^{\mu} = mu^{\mu} \!\, .

Ali, v komponentah:

 P^{\mu} = \begin{bmatrix} \gamma m_{0} c \\ \gamma m_{0} v^{1} \\ \gamma m_{0} v^{2} \\ \gamma m_{0} v^{3} \end{bmatrix} .

Pri tem je m_{0} mirovna masa, c hitrost svetlobe, v = (v1, v2,v3) vektor hitrosti, \gamma pa relativistični Lorentzov faktor:

 \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}} \!\, .

Časovni del četverca gibalne količine lahko zapišemo kot E/c, s čimer smo vpeljali polno energijo:

 E = m_{0} c^{2} \gamma = \frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}} \!\, .

Skalarni produkt tako definiranega četverca je res invarianten:

 g^{\mu\nu} P^{\mu} P^{\nu} = -E^{2}/c^{2} + P^{2} = -m_{0}^{2} c^{2} \!\, .

Pri tem je g^{\mu\nu} metrični tenzor, P^{2} pa skalarni produkt krajevnega dela četverca gibalne količine s samim seboj:

 \vec\mathbf{P} = m_{0} \gamma \vec\mathbf{v} \!\, .

Tudi za četverec gibalne količine lahko zapišemo, da je njegov odvod po času enak sili, če vpeljemo silo Minkovskega:

 \mathcal{F}^{\mu} = \frac{\mathrm{d} P^{\mu}}{\mathrm{d} \tau} \!\, .

Gibalna količina v kvantni mehaniki[uredi | uredi kodo]

V kvantni mehaniki ustreza gibalni količini operator gibalne količine, ki deluje v prostoru valovnih funkcij:

\hat{\mathbf{p}} = -i\hbar \begin{bmatrix} \partial/\partial x \\ \partial/\partial y \\ \partial/\partial z \end{bmatrix} = -i\hbar\nabla.

Heisenbergovo načelo nedoločenosti podaja omejitev, kako točno lahko obenem poznamo vrednost lege in vrednost hitrosti oz. gibalne količine. To zvezo v matematični obliki podaja nekomutativnost operatorjev gibalne količine in lege:

 [ \hat{p}_{i}, \hat{x}_{j}] = \hat{p}_{i} \hat{x}_{j} - \hat{x}_{j}\hat{p}_{i} = i\hbar\delta_{ij} \!\, .

Pri tem je \hat{p}_{i} i-ta komponenta operatorja gibalne količine \hat{x}_{j} j-ta komponenta operatorja lege, \hbar Planckova konstanta, deljena z 2π, δij pa Kroneckerjev delta.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]