Prostor Soboljeva

Prostor Soboljeva je v matematični analizi normiran vektorski prostor. Norma je podana kot linearna kombinacija $L^{p}$ norm šibkih odvodov. Posledično je prostor Banachov. Izbrana norma omogoča preverjanje tako regularnosti kot velikosti funkciji na prostoru. Največkrat se prostori Soboljeva uporabljajo v analizi parcialnih diferencialnih enačb in Fourierevi analizi. Uporabljajo se predvsem zato, ker se pogosto zgodi, da so rešitev parcialnih diferencialnih enačb šibke, torej niso povsem zvezne, in posledično del prostorov Soboljeva. Pojavljajo se pa tudi v harmonični, funkcionalni in numerični analizi.

Prostor je kot prvi uvedel ruski matematik Sergej Soboljev.

Šibek odvod

Naj bo $\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}$ odprta množica in naj bo $u\in L_{loc}^{1}(\Omega )$. Pravimo, da $u$ je 1-krat šibko odvedljiva po spremenljivki $x$, ko obstaja funkcija $h\in L_{loc}^{1}(\Omega )$, da velja$$\int _{\Omega }u\partial _{x}\phi \,dx=-\int _{\Omega }h\phi \,dx\qquad \forall \phi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ).$$Funkciji $h$ tedaj pravimo šibek odvod funkcije $u$. Tovrstni odvod je uporaben, ko recimo funkcije ne premorejo odvoda na celotni domeni $\Omega$. Če šibek odvod obstaja, potem je enolično definiran skoraj povsod. V splošnem lahko to generaliziramo na poljuben $\alpha$-ti šibek odvod $v\in L_{loc}^{1}(\Omega )$,$$\int _{\Omega }uD^{\alpha }\phi dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }v\phi dx.$$kjer je $D$ diferencialni operator. Za voljo popolnosti pa predstavimo še šibkejšo različico tovrstnega odvoda. Naj bo $D(\Omega ):=C_{c}^{\infty }(\Omega )$ prostor testnih funkciji, zveznemu linearnemu funkcionalu $T:D(\Omega )\to \mathbb {R}$ pravimo distribucija. Z $D'(\Omega )$ pogosto označimo zvezni dual prostora testnih funkciji oz. prostor distribuciji. Gornja definicija šibkega odvoda določa distribucijo $T\in D'(\Omega )$ s predpisom $\langle T,\varphi \rangle =\int _{\Omega }u\varphi \,dx$ (izrazu na levi strani pravimo dualni par, ki preprosto ovrednoti distribucijo na $\varphi$). Distribuciji $DT\in D'(\Omega )$ pravimo distribucijski odvod distribucije $T\in D'(\Omega )$, ko velja relacija $\langle DT,\varphi \rangle =-\langle T,D\varphi \rangle \quad \forall \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )$. Bralec se brez težav prepriča, da je to očitno posplošitev šibkega odvoda.

Prostori Soboljeva

Prostor Soboljeva $W^{k,p}(\Omega )$ je prostor funkciji, ki imajo $k$ $p$-integrabilnih šibkih odvodov ($1\leq p\leq \infty$). Potemtakem je to prostor funkciji, katerih šibki odvodi imajo kočno $L^{p}$ normo$$||{D}^{\alpha }u||_{L^{p}(\Omega )}<\infty \quad \forall \alpha \leq k,$$kjer $\alpha$ predstavlja multi indeks oz. vse možne n-terice za tvorjenje šibkega odvoda$$D^{\alpha }f={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}...\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}$$Če povedano zapišemo v obliki množice, dobimo$$W^{k,p}(\Omega )=\{u\in L^{p}(\Omega ):D^{\alpha }u\in L^{p}(\Omega ),\forall |\alpha |\leq k\}.$$Obstaja več načinov za definicijo norme tovrstnega prostora, vendar se pogosto odločimo za sledečo$$||u||_{W^{k,p}(\Omega )}={\begin{cases}\left(\sum _{k\leq |\alpha |}||D^{\alpha }u||_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\quad &\forall p<\infty \\\left(\sum _{k\leq |\alpha |}||D^{\alpha }u||_{L^{\infty }(\Omega )}\right)\quad &p=\infty \end{cases}}$$Ob izbiri norme postane prostor Banachov, za $p<\infty$ pa tudi seperabilen. Za $p=2$ je prostor Hilbertov, označimo ga z $H^{k}(\Omega )$ ali $H^{k}(\Omega )$. Tak Hilbertov prostor je opremljen s skalarnim produktom $(u,v)_{H^{k}(\Omega )}=\sum _{|\alpha |\leq k}(D^{\alpha }u,D^{\alpha }v)_{L^{2}(\Omega )}$.