Ortonormalnost

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Ortonormalnost je v linearni algebri odnos med dvema enotskima vektorjema (njuna dolžina je 1), ki sta med seboj pravokotna ˙(ortogonalna). Skupina vektorjev tvori ortonormalno skupino vektorjev, če so vsi ortogonalni in imajo dolžino 1. Ortonormalna skupina vektorjev tvori bazo, ki jo imenujemo ortonormalna baza.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Z označimo prostor notranjega produkta. Množica vektorjev

je ortogonalna, če in samo, če velja

kjer je

  • Kroneckerjev delta
  • notranji produkt v prostoru .

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

  • če je skupina ortonormalnih vektorjev, potem velja

Primeri[uredi | uredi kodo]

Dvorazsežni Kartezični koordinatni sistem[uredi | uredi kodo]

Vektorja v katezičnem koordinatnem sistemu naj bosta in . Vektorja sta ortonormalna, če zanju velja:

  • skalarni produkt je enak 0 ali
  • norma vektorja je enaka 1 ali
  • norma vektorja je enaka 1 ali .

To lahko zapišemo kot

  1. .

Kar pomeni, da je . Torej je dolžina vektorjev enaka 1, ležita pa na enotski krožnici. V ravnini sta ortonormalna vektorja polmera enotske krožnice in tvorita pravi kot. Podobno velja za trirazsežni prostor. Metoda ortogonalizacije množice vektorjev v prostoru notranjih produktov se imenuje Gram-Schmidtov proces. Običajno se to izvaja v evklidskem prostoru z uporabo linearno neodvisnih vektorjev.

Standardna baza[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Standardna baza.

Standardna baza v koordinatnem prostoru je kjer je

.
.

Katerakoli dva vektorja in , ki imata sta ortogonalna. Vsi vektorji imajo tudi dolžino 1.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]