Eulerjeva enačba

Gibanje točke na Gaussovi ravnini. Točka se giblje od točke z=1, s hitrostjo iz v časovnem razmiku π. Po gibanju na razdalji 1 prispe v izhodišče 0

Eulerjeva enáčba (tudi Eulerjeva identitéta ali Eulerjev obrazec) [òjlerjeva ~] povezuje pet za matematiko zelo pomembnih števil 0, 1, π, i in e

$e^{i\pi }+1=0\!\,.$

Enačbo je zapisal Leonhard Euler.

Splošna oblika Eulerjeve enačbe je:

$e^{iy}=\cos y+i\sin y\!\,.$

Ta enačba je del enačbe:

$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}\!\,,$

kjer je z kompleksno število (x + iy).

Eulerjeva enačba kaže na matematično lepoto. Tri osnovne dvočlene aritmetične operacije se pojavijo natanko enkrat: seštevanje, množenje in potenciranje.

Izpeljava

Eulerjeva enačba je posebni primer Eulerjeve formule iz kompleksne analize:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\!\,$

za poljubni realni x. Argumenta za trigonometrični funkciji sinus in kosinus morata biti v radianih. Če je:

$x=\pi \!\,,$

potem velja posebej:

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi \!\,.$

Ker je:

$\cos \pi =-1\!\,,$

$\sin \pi =0\!\,,$

sledi:

$e^{i\pi }=-1\!\,.$

Posplošitev

Eulerjeva enačba je poseben primer splošnejše enačbe, da je vsota vseh n-tih korenov enote, pri n > 1, enaka 0:

$\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi ik/n}=0\!\,.$

Eulerjevo enačbo dobimo z n = 2.