Eulerjeva enačba

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Gibanje točke na Gaussovi ravnini. Točka se giblje od točke z=1, s hitrostjo iz v časovnem razmiku π. Po gibanju na razdalji 1 prispe v izhodišče 0

Eulerjeva enáčba (tudi Eulerjeva identitéta ali Eulerjev obrazec) [òjlerjeva ~] povezuje pet za matematiko zelo pomembnih števil 0, 1, π, i in e

Enačbo je zapisal Leonhard Euler.

Splošna oblika Eulerjeve enačbe je:

Ta enačba je del enačbe:

kjer je z kompleksno število (x + iy).

Eulerjeva enačba kaže na matematično lepoto. Tri osnovne dvočlene aritmetične operacije se pojavijo natanko enkrat: seštevanje, množenje in potenciranje.

Izpeljava[uredi | uredi kodo]

Eulerjeva enačba je posebni primer Eulerjeve formule iz kompleksne analize:

za poljubni realni x. Argumenta za trigonometrični funkciji sinus in kosinus morata biti v radianih. Če je:

potem velja posebej:

Ker je:

sledi:

Posplošitev[uredi | uredi kodo]

Eulerjeva enačba je poseben primer splošnejše enačbe, da je vsota vseh n-tih korenov enote, pri n > 1, enaka 0:

Eulerjevo enačbo dobimo z n = 2.