Kompleksno število

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Množica kompléksnih števíl predstavlja razširitev realnih števil, v kateri lahko korenimo tudi negativna števila. Kompleksna števila vsebujejo imaginarno enoto i (v elektrotehniki zasledimo tudi oznako j), kjer je i^2 = -1 . Kompleksna števila so oblike x + iy, kjer je x realni del kompleksnega števila, y pa imaginarni del.

Koristne so tudi naslednje enačbe:

i^1=i
i^2=-1
i^3=i^2 \cdot i=(-1) \cdot i=-i
i^4=i^2 \cdot i^2=(-1) \cdot (-1)=1

Seštevanje in množenje kompleksnih števil:

 ( a + ib ) + ( c + id ) = ( a + c ) + i ( b + d ) \,
 ( a + ib ) \cdot ( c + id ) = ac - bd + i ( bc + ad ) \,

Množico kompleksnih števil je z relacijo leksikografske urejenosti po obeh realnih komponentah moč urediti, nikakor pa je ni moč dobro urediti.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Formalno lahko kompleksna števila določimo kot urejen par realnih števil (a,b) skupaj z operacijami:

  •  ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) \,
  •  ( a , b ) \cdot ( c , d ) = ( ac - bd , bc + ad ) \,

Tako urejena kompleksna števila tvorijo obseg, označen z znakom C oziroma \mathbb{C}. Realna števila se v množici C zapišejo kot (a, 0). Tako so realna števila podmnožica množice C. Imaginarna enota i je predstavljena kot (0,1).

Množica C ima naslednje posebne elemente:

  • identiteto za seštevanje: (0,0)
  • identiteto za množenje: (1,0)
  • inverzni element glede na seštevanje elementa (a,b): (−a,−b)
  • inverzni element za množenje neničelnega elementa (a,b): \left({a\over a^2+b^2},{-b\over a^2+b^2}\right)

Geometrija[uredi | uredi kodo]

Kompleksno število si lahko predstavljamo tudi kot točko ali vektor v kartezičnem koordinatnem sistemu.

 z = x + iy = r (\cos \phi + i\sin \phi ). \,

Ta enačba se zapiše tudi kot r cis φ, kjer je r = |z| (absolutna vrednost z) in φ = arg(z) (argument z). Eulerjeva enačba pa pravi ei φ = cisφ. Eksponentni zapis je bolj nazoren kot okrajšani zapis r cis φ. Z enostavnimi trigonometričnimi enakostmi lahko pokažemo, da

r_1 e^{i \phi_1} \cdot r_2 e^{i \phi_2} 
= r_1 r_2 e^{i (\phi_1 + \phi_2)} \,

in

\frac{r_1 e^{i \phi_1}}
{r_2 e^{i \phi_2}}
= \frac{r_1}{r_2} e^{i (\phi_1 - \phi_2)} \,

Tako je seštevanje dveh kompleksnih števil samo seštevanje dveh vektorjev, množenje z določenim kompleksnim številom pa je hkratno vrtenje in razteg.

Množenje z i je enakovredno vrtenju v nasprotni smeri urinega kazalca za 90 stopinj. Geometrijski ekvivalent enačbe i2 = -1 je vrtenje za 180 stopinj. Tako lahko tudi na enačbo (-1) · (-1) = 1 geometrijsko gledamo kot na dve vrtenji za 180 stopinj, torej vrtenje za 360 stopinj.

Absolutna vrednost, konjugacija in razdalja[uredi | uredi kodo]

Absolutna vrednost kompleksnega števila z = r e je definirana kot |z| = r. Algebraično gledano, če je z = a + ib, potem je |z| = √(a2 + b2).

Absolutna vrednost ima tri pomembne značilnosti:

 | z + w | \leq | z | + | w | \,
 | z w | = | z | \; | w | \,
 | z / w | = | z | / | w | \,

za vsa kompleksna števila z in w. Z definiranjem razdalje d(z,w) = |z + w| pretvorimo kompleksna števila v metrični sistem, kateremu lahko potem določimo meje in govorimo o zveznosti. Seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje (z izjemo deljenja z ničlo) so tako zvezne operacije.

Konjugacija kompleksnega števila z = a + ib je definirana kot a - ib, kar zapišemo kot \bar{z} ali z*. Kot lahko vidimo na sliki, je geometrijska ponazoritev konjugacije \bar{z} zrcaljenje števila z prek realne premice.

Velja naslednje:

\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}
\overline{zw} = \bar{z}\bar{w}
\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}
\bar{\bar{z}}=z
\bar{z}=z   če in samo če je z realno število
|z|=|\bar{z}|
|z|^2 = z\bar{z}
z^{-1} = \bar{z}|z|^{-2}   če z ni nič

Konjugacija je komutativna z vsemi algebraičnimi operacijami (in z nekaterimi funkcijami, npr. \sin\bar z=\overline{\sin z}), kar je tesno povezano z imaginarno enoto i (-1 ima dva različna kvadratna korena). Konjugacija ni odvedljiva operacija.

Deljenje kompleksnih števil[uredi | uredi kodo]

Kompleksno število a + ib želimo zdeliti z neničelnim kompleksnim številom c + id. To lahko storimo na dva načina. Prva možnost je, da kompleksno število pretvorimo v eksponentno obliko iz katere je potem lahko izračunati kvocient. Pri drugi možnosti kvocient izrazimo kot ulomek, nato pa imenovalec in števec pomnožimo s konjugiranim imenovalcem, kar nas privede do realnega imenovalca:

 {a + ib \over c + id} = {(a + i b) (c - i d) \over (c + i d) (c - i d)} = {(a c + b d) + i (b c - a d) \over c^2 + d^2}
 = \left({a c + b d \over c^2 + d^2}\right) + i \left( {b c - a d \over c^2 + d^2} \right).

Glej tudi[uredi | uredi kodo]