Kompleksno število

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Kompleksno število se lahko vizualno predstavi kot par števil (a, b), ki oblikujeta vektor v Argandovem diagramu in tako ponazarjata kompleksno ravnino. »Re« je realna os, »Im« je imaginarna os in i je imaginarna enota za katero velja i2 = −1.

Množica kompléksnih števíl predstavlja razširitev realnih števil, v kateri se lahko koreni tudi negativna števila. Kompleksna števila vsebujejo imaginarno enoto i\, (v elektrotehniki se zasledi tudi oznako j\, ), kjer je i^{2} = -1\, . Kompleksna števila so oblike x + iy\, , kjer je x\, realni del kompleksnega števila, y\, pa njegov imaginarni del.

Koristne so tudi naslednje enačbe:

 i^{1}=i \!\, ,
 i^{2}=-1 \!\, ,
 i^{3}=i^{2} \cdot i=(-1) \cdot i=-i \!\, ,
i^{4}=i^{2} \cdot i^{2}=(-1) \cdot (-1)=1 \!\, .

Seštevanje in množenje kompleksnih števil:

 ( a + ib ) + ( c + id ) = ( a + c ) + i ( b + d ) \!\, ,
 ( a + ib ) \cdot ( c + id ) = ac - bd + i ( bc + ad ) \!\, .

Množico kompleksnih števil je z relacijo leksikografske urejenosti po obeh realnih komponentah moč urediti, nikakor pa je ni moč dobro urediti.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Prikaz kompleksne ravnine. Realni del kompleksnega števila z = x + iy je x, njegov imaginarni del pa y.

Formalno se lahko kompleksna števila določi kot urejeni par realnih števil (a,b) skupaj z operacijami:

  •  ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) \!\, ,
  •  ( a , b ) \cdot ( c , d ) = ( ac - bd , bc + ad ) \!\, .

Tako urejena kompleksna števila tvorijo obseg, označen z znakom C oziroma \C\, . Realna števila se v množici C zapišejo kot (a, 0). Tako so realna števila podmnožica množice C. Imaginarna enota i\, je predstavljena kot (0,1).

Množica C ima naslednje posebne elemente:

  • identiteto za seštevanje: (0,0)
  • identiteto za množenje: (1,0)
  • inverzni element glede na seštevanje elementa (a,b): (−a,−b)
  • inverzni element za množenje neničelnega elementa (a,b):  \left( \frac{a}{a^{2}+b^{2}}, \frac{-b}{a^{2}+b^{2}} \right) \,

Geometrija[uredi | uredi kodo]

Kompleksno število se lahko predstavlja tudi kot točko ali vektor v kartezičnem koordinatnem sistemu:

 z = x + iy = r (\cos \phi + i\sin \phi ). \!\, .

Ta enačba se zapiše tudi kot r cis φ, kjer je r = |z| (absolutna vrednost z) in φ = arg(z) (argument z). Eulerjeva enačba pa pravi ei φ = cisφ. Eksponentni zapis je bolj nazoren kot okrajšani zapis r cis φ. Z enostavnimi trigonometričnimi enakostmi se lahko pokaže, da velja:

 r_{1} e^{i \phi_{1}} \cdot r_{2} e^{i \phi_{2}} = r_{1} r_{2} e^{i (\phi_{1} + \phi_{2})} \!\,

in:

 \frac{r_{1} e^{i \phi_{1}}}{r_{2} e^{i \phi_{2}}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} e^{i (\phi_{1} - \phi_{2})} \!\, .

Tako je seštevanje dveh kompleksnih števil samo seštevanje dveh vektorjev, množenje z določenim kompleksnim številom pa je hkratno vrtenje in razteg.

Množenje z i je enakovredno vrtenju v nasprotni smeri urinega kazalca za 90 stopinj. Geometrijski ekvivalent enačbe i2 = -1 je vrtenje za 180 stopinj. Tako se lahko tudi na enačbo (-1) · (-1) = 1 geometrijsko gleda kot na dve vrtenji za 180 stopinj, torej vrtenje za 360 stopinj.

Absolutna vrednost, konjugacija in razdalja[uredi | uredi kodo]

Absolutna vrednost kompleksnega števila z = r e je definirana kot |z| = r. Algebrsko gledano, če je z = a + ib, potem je |z| = √(a2 + b2).

Absolutna vrednost ima tri pomembne značilnosti:

 | z + w | \leq | z | + | w | \!\, ,
 | z w | = | z | \; | w | \!\, ,
 | z / w | = | z | / | w | \!\,

za vsa kompleksna števila z in w. Z definiranjem razdalje d(z,w) = |z + w| se pretvori kompleksna števila v metrični sistem, kateremu se lahko potem določi meje in se govori o zveznosti. Seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje (z izjemo deljenja z ničlo) so tako zvezne operacije.

Konjugacija kompleksnega števila z = a + ib je definirana kot a - ib, kar se zapiše kot \bar{z} ali z*. Kot se lahko vidi na sliki, je geometrijska ponazoritev konjugacije \bar{z} zrcaljenje števila z prek realne premice.

Velja naslednje:

 \overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w} \!\, ,
 \overline{zw} = \bar{z}\bar{w} \!\, ,
 \overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w} \!\, ,
 \bar{\bar{z}}=z \!\, ,
 \bar{z}=z \!\, ,   če in samo če je z realno število
 |z|=|\bar{z}| \!\, ,
 |z|^2 = z\bar{z} \!\, ,
 z^{-1} = \bar{z}|z|^{-2} \!\, ,   če z ni nič

Konjugacija je komutativna z vsemi algebrskimi operacijami (in z nekaterimi funkcijami, npr. \sin\bar z=\overline{\sin z}\, ), kar je tesno povezano z imaginarno enoto i (-1 ima dva različna kvadratna korena). Konjugacija ni odvedljiva operacija.

Seštevanje in odštevanje[uredi | uredi kodo]

Seštevanje dveh komplaksnih števil po paralelogramskem pravilu.

Kompleksna števila se sešteva tako, da se sešteje posebej realni in posebej imaginarni komponenti:

 (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i \!\, .

Podobno se tudi odšteva:

 (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i \!\, .

Deljenje kompleksnih števil[uredi | uredi kodo]

Kompleksno število a + ib se želi zdeliti z neničelnim kompleksnim številom c + id. To se lahko stori na dva načina. Prva možnost je, da se kompleksno število pretvori v eksponentno obliko iz katere je potem lahko izračunati kvocient. Pri drugi možnosti se kvocient izrazi kot ulomek, nato pa se menovalec in števec pomnoži s konjugiranim imenovalcem, kar privede do realnega imenovalca:

 \begin{align}
\frac{a + ib}{c + id} &= \frac{(a + i b) (c - i d)}{(c + i d) (c - i d)} = \frac{(a c + b d) + i (b c - a d)}{c^{2} + d^{2}} \\
                      &= \left( \frac{a c + b d}{c^{2} + d^{2}} \right) + i \left( \frac{b c - a d}{c^{2} + d^{2}} \right) \!\, . \end{align}

Množenje kompleksnih števil[uredi | uredi kodo]

Za množenje dveh kompleksnih števil veljajo pravila množenja dvočlenikov in ob upoštevanju da je i^2 = -1\, se dobi naslednji predpis:

 (a + bi)(c + di)= ac + adi + cbi - bd = ac - bd + (ad + cb)i \!\, .

Zato se tudi pri množenju kompleksnega števila s samim seboj (kvadriranju) dobi naslednji predpis:

 (a + bi)(a + bi) = a^{2} + 2abi - b^{2} \!\, .

V množici kompleksnih števil je vsota kvadratov razstavljiva:

 a^{2} + b^{2} = (a + bi)(a - bi) \!\, .

Glej tudi[uredi | uredi kodo]