Cayley-Dicksonova konstrukcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Cayley-Dicksonova konstrukcija omogoča tvorbo zaporedja algeber nad obsegom realnih števil tako, da ima vsaka algebra dvakratno razsežnost predhodne.

Algebre, ki se jih tvori na ta način, se imenujejo Cayley-Dicksonove algebre, ker razširjajo kompleksna števila na hiperkompleksna števila. Vse te algebre vsebujejo involucijo.

Kompleksna števila kot urejeni pari[uredi | uredi kodo]

Kompleksna števila se lahko zapiše kot urejeni par realnih števil in . Pri tem se izvaja seštevanje komponenta za komponento, množenje pa je določeno kot:

Vidi se, da je kompleksno število z ničelno drugo komponento enako realnemu številu, kar pomeni, da je realno število.

Konjugirano število[uredi | uredi kodo]

Konjugirano število . Za konjugirana števila velja značilnost:

To pa je nenegativno realno število. Tako konjugacija definira normo. Zaradi tega tvorijo kompleksna števila normirani vektorski prostor nad realnimi števili.

Normo kompleksnega števila se izračuna kot:

Obratna vrednost pa je:

Kvaternioni[uredi | uredi kodo]

Kvaternione se dobi s pomočjo podobnega postopka.

Uporabi se urejeni par kompleksnih števil in . Množenje se definira kot :

Konjugirana vrednost para je določena kot:

Produkt tega števila s svojo konjugirano vrednostjo je:

To pa je nenegativno število. Pari teh števil tvorijo algebro, ki je podobna algebri realnih števil. Te vrste števila se imenujejo kvaternioni.

Oktonioni[uredi | uredi kodo]

Postopek se lahko nadaljuje na podoben način. Urejeni par dveh kvaternionov in . Množenje in konjugiranje se definira enako kot za kvaternione. Urejeni par kvaternionov in .

Velja:

Pri tem je treba upoštevati, da kvaternioni niso komutativni.

Algebro oktonionov je odkril irski pravnik in matematik John Thomas Graves (1806 – 1870). Oktonione imenujejo tudi Cayleyjeva števila.

Naslednje algebre[uredi | uredi kodo]

Algebra, ki sledi algebri oktonionov je algebra sedenionov. V tej algebri velja potenčna asociativnost. To pa pomeni, da za sedenion velja .

Cayley-Dicksonova konstrukcija se lahko nadaljuje do neskončnosti. Vsak naslednji korak da novo algebro, ki je potenčno asociativna, njena razsežnost pa je dvakrat večja od predhodne.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]