Cayley-Dicksonova konstrukcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Cayley-Dicksonova konstrukcija omogoča tvorbo zaporedja algeber nad obsegom realnih števil tako, da ima vsaka algebra dvakratno razsežnost predhodne.

Algebre, ki se jih tvori na ta način, se imenujejo Cayley-Dicksonove algebre, ker razširjajo kompleksna števila na hiperkompleksna števila. Vse te algebre vsebujejo involucijo.

Kompleksna števila kot urejeni pari[uredi | uredi kodo]

Kompleksna števila se lahko zapiše kot urejeni par (a, b)\, realnih števil a\, in b\, . Pri tem se izvaja seštevanje komponenta za komponento, množenje pa je določeno kot:

(a, b) (c, d) = (a c - b d, a d + b c) \!\, .

Vidi se, da je kompleksno število z ničelno drugo komponento enako realnemu številu, kar pomeni, da je (a, 0)\, realno število.

Konjugirano število[uredi | uredi kodo]

Konjugirano število (a, b)^{*} = (a, -b)\, . Za konjugirana števila velja značilnost:

 (a, b)^{*} (a, b) = (a a + b b, a b - b a) = (a^{2} + b^{2}, 0) \!\, .

To pa je nenegativno realno število. Tako konjugacija definira normo. Zaradi tega tvorijo kompleksna števila normirani vektorski prostor nad realnimi števili.

Normo kompleksnega števila z\, se izračuna kot:

 |z| = (z^{*} z)^{1/2} \!\, ,

Obratna vrednost pa je:

 z^{-1} = \frac{z^{*}} {|z|^{2}} \!\, .

Kvaternioni[uredi | uredi kodo]

Kvaternione se dobi s pomočjo podobnega postopka.

Uporabi se urejeni par (a, b)\, kompleksnih števil a\, in b\, . Množenje se definira kot :

 (a, b) (c, d) = (a c - d^{*} b, d a + b c^{*}) \!\, .

Konjugirana vrednost para (a, b)\, je določena kot:

 (a, b)^{*} = (a^{*}, -b) \!\, .

Produkt tega števila s svojo konjugirano vrednostjo je:

 (a, b)^{*} (a, b)
  = (a^{*}, -b) (a, b)
  = (a^{*} a + b^{*} b, b a^{*} - b a^{*})
  = (|a|^{2} + |b|^{2}, 0 ) \!\, . To pa je nenegativno število. Pari teh števil tvorijo algebro, ki je podobna algebri realnih števil. Te vrste števila se imenujejo kvaternioni.

Oktonioni[uredi | uredi kodo]

Postopek se lahko nadaljuje na podoben način. Urejeni par (p, q)\, dveh kvaternionov p\, in q\, . Množenje in konjugiranje se definira enako kot za kvaternione. Urejeni par (p, q)\, kvaternionov p\, in q\,.

 (p, q) (r, s) = (p r - s^{*} q, s p + q r^{*}) \!\, .

Velja:

 (p, q) (r, s) = (p r - s^{*} q, s p + q r^{*}) \!\, .

Pri tem je treba upoštevati, da kvaternioni niso komutativni.

Algebro oktonionov je odkril irski pravnik in matematik John Thomas Graves (1806 – 1870). Oktonione imenujejo tudi Cayleyjeva števila.

Naslednje algebre[uredi | uredi kodo]

Algebra, ki sledi algebri oktonionov je algebra sedenionov. V tej algebri velja potenčna asociativnost. To pa pomeni, da za sedenion s\, velja s^{n} s^{m} = s^{n+m}\, .

Cayley-Dicksonova konstrukcija se lahko nadaljuje do neskončnosti. Vsak naslednji korak da novo algebro, ki je potenčno asociativna, njena razsežnost pa je dvakrat večja od predhodne.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]