Bikompleksno število

Množenje tesarin

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	k	+1	i
k	k	−j	i	−1

Bikompleksno število (tudi tesarina) je hiperkompleksno število, ki ima obliko

$t=w+xi+yj+zk,\quad w,x,y,z\in R$$t=w+xi+yj+zk,\quad w,x,y,z\in R$

kjer je

• $ij=ji=k,\quad i^{2}=-1,\quad j^{2}=+1$$ij=ji=k,\quad i^{2}=-1,\quad j^{2}=+1$.

Tesarine je uvedel angleški odvetnik in matematik James Cockle (1819 – 1895) v letu 1848.

Tesarine so najbolj znane po podalgebri realnih tesarin, ki imajo obliko $w+yj\,$$w+yj\,$, ki jih imenujemo tudi hiperbolična števila (razcepljena ali razklana kompleksna števila), ki predstavljajo parametrizacijo enotske hiperbole.

Linearna predstavitev

Za bikompleksno število (tesarino) $t=w+xi+yj+zk\,$$t=w+xi+yj+zk\,$ velja $t=(w+xi)+(y+zi)\,$$t=(w+xi)+(y+zi)\,$ ker je $ij=k\,$$ij=k\,$. Preslikava

$t\mapsto {\begin{bmatrix}p&q\\q&p\end{bmatrix}},\quad p=w+xi,\quad q=y+zi$$t\mapsto {\begin{bmatrix}p&q\\q&p\end{bmatrix}},\quad p=w+xi,\quad q=y+zi$

je linearni prikaz algebre bikompleksnih števil kot podalgebra matrik $2\times 2\,$$2\times 2\,$. V nasprotju z večino matričnih algeber j eta algebra komutativna.

Izomorfizmi z drugimi številskimi sistemi

Kadr sta w in z kompleksni števili

$w=~a+ib$$w=~a+ib$

$z=~c+id$$z=~c+id$

kjer so

• $a,b,c,d\,$$a,b,c,d\,$ realna števila

potem je algebra $t\,$$t\,$ izomorfna koničnim kvaternionom $a+bi+c\epsilon +di_{0}\,$$a+bi+c\epsilon +di_{0}\,$ z bazo $\{1,i,\epsilon ,i_{0}\}\,$$\{1,i,\epsilon ,i_{0}\}\,$ z naslednjimi vrednostmi

$1\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\qquad i\equiv {\begin{bmatrix}i&0\\0&i\end{bmatrix}}\qquad \varepsilon \equiv {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\qquad i_{0}\equiv {\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}$$1\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\qquad i\equiv {\begin{bmatrix}i&0\\0&i\end{bmatrix}}\qquad \varepsilon \equiv {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\qquad i_{0}\equiv {\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}$.

So pa tudi izomorfni z bikompleksnimi števili (od multikompleksnih števil) z bazo $\{1,i_{1},i_{2},j\}\,$$\{1,i_{1},i_{2},j\}\,$, ki so določeni kot

$1\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\qquad i_{1}\equiv {\begin{bmatrix}i&0\\0&i\end{bmatrix}}\qquad i_{2}\equiv {\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}\qquad j\equiv {\begin{bmatrix}0&-1\\-1&0\end{bmatrix}}.$$1\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\qquad i_{1}\equiv {\begin{bmatrix}i&0\\0&i\end{bmatrix}}\qquad i_{2}\equiv {\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}\qquad j\equiv {\begin{bmatrix}0&-1\\-1&0\end{bmatrix}}.$.

Kadar sta $w\,$$w\,$ in $z\,$$z\,$ kvaterniona z bazo $\{1,i_{1},i_{2},i_{3}\}\,$$\{1,i_{1},i_{2},i_{3}\}\,$ je nastala algebra identična s koničnimi sedenioni.

Zunanje povezave

• Komutativna hiperkompleksna matematika (v angleščini)
• Hiperkompleksne algebre (v angleščini)
• Tesarine (v angleščini)