Bikvaternion

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Bikvaternion (tudi dvojni kvaternion) je v abstraktni algebri število z obliko ,

kjer so

Podobno kot imamo tri tipe kompleksnih števil, imamo tudi tri tipe bikvaternionov

Definicija[uredi | uredi kodo]

Če je baza kvaternionov in so kompleksna števila, potem je bikvaternion enak

[1]

Da bi ločila kvadratni koren iz -1 nad skalarnim obsegom v kvaternionih sta irski matematik, fizik in astronom William Rowan Hamilton [2][3] (1805 - 1865) in irski matematik Arthur William Conway (1875 – 1950) prevzela dogovor, da je oznaka enaka , ker je v kvaternionski grupi. To pomeni, da je

, , in , ker je skalar.

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Algebra bikvaternionov je asociativna, ni pa komutativna. Lahko se obravnava kot tenzorski produkt (nad realnimi števili), kjer je obseg kompleksnih števil in je algebra kvaternionov. Bikvaternioni so samo kompleksifikacija realnih kvaternionov.

Bikvaternioni imajo dve konjugirani obliki

  • kvaternionska konjugacija
  • kompleksna konjugacija kvaternionskih koeficientov

kjer je

  • kadar je .

Pri tem pa velja

.

Vloga v teoriji kolobarjev[uredi | uredi kodo]

Linearna predstavitev[uredi | uredi kodo]

Poglejmo zmnožek dveh matrik:

= .

Vsak izmed treh skupin podatkov ima kvadrat, ki je enak negativni enotski matriki. Če zmnožek matrik prikažemo kot , potem se dobi podgrupa matričnih grup, ki je izmorfna kvaternionski grupi. To pomeni, da

predstavlja kvaternion.

Podalgebre[uredi | uredi kodo]

Če obravnavamo bikvaternionsko algebro nad skalarnim obsegom realnih števil , potem tvori bazo tako, da ima algebra osem realnih razsežnosti. Pri tem pa je

.

Podalgebra bikvaternionov je izomorfna ravnini hiperboličnih števil, ki imajo algebraično strukturo zgrajeno okoli hiperbol. Elementa in tudi določata takšne podalgebre. Pri tem pa je algebra, ki je izomorfna s tesarinami.

Tretjo podalgebro določata in . Pri tem je treba upoštevati, da je in, da je kvadrat tega elementa enak -1. Ti elementi generirajo dihedralno grupo kvadratov. Linearni podprostor z bazo tvori kokvaternionsko algebro.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Hamilton (1853) stran 639
  2. ^ Hamilton (1853) stran 730
  3. ^ Hamilton (1899) Elements of Quaternions, 2. izdaja, stran 289

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]