Hiperbolično število

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Del ravnine hiperboličnih števil s prikazanimi podmnožicami, ki imajo absolutno vrednost 0 (rdeče), 1 (modro) in -1 (zeleno).

Hiperbolično število (tudi kompleksno število hiperboličnega tipa ali razcepljeno kompleksno število) je v abstraktni algebri dvorazsežna komutativna algebra nad realnimi števili, ki se razlikujejo od kompleksnih števil. Vsako hiperbolično število lahko zapišemo v obliki

kjer je

  • realno število
  • realno število
  • število podobno imaginarni enoti, razen, da zanj velja
tako, da pri tem upoštevamo samo nerealne korene.

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Seštevanje je definirano kot

Množenje pa je definirano z

Velja tudi zakon komutativnosti, asociativnosti in distributivnosti.

Konjugirano število[uredi | uredi kodo]

Podobno kot pri običajnih kompleksnih številih je tudi za hiperbolično števil konjugirano število določeno kot

.

Konjugirana vrednost zadošča podobnim značilnostim kot običajna kompleksna števila:

Velja pa tudi

.

Geometrija[uredi | uredi kodo]

Množica točk za katere velja je hiperbola za vse iz , ki so različni od nič. Hiperbola je sestavljena iz dveh vej, ki gresta skozi točki in . Kadar je dobimo enotsko hiperbolo. Konjugirana hiperbola pa je določena z

Matrična predstavitev[uredi | uredi kodo]

Hiperbolična števila se zelo lepo prikažejo tudi z matriko. Hiperbolično število lahko prikažemo kot matriko

,

ker je

in

.

Eulerjeva formula, ki velja za hiperbolična kompleksna števila ima obliko:

.

Absolutna vrednost[uredi | uredi kodo]

Absolutna vrednost hiperboličnega kompleksnega števila je enaka

.

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

Uporaba razcepljenih kompleksnih števil se je pričela že v letu 1848, ko je angleški odvetnik in matematik James Cockle (1819 – 1895) odkril tesarine. Angleški matematik in filozof William Kingdom Clifford (1845 - 1879) je uporabil razcepljena kompleksna števila za prikaz vsote spinov. Clifford je pričel z uporabo razcepljenih kompleksnih števil kot koeficientov v kvaternionski algebri, ki jih sedaj imenujemo razcepljeni bikvaternioni. Clifford jih je imenoval motorji (predstavljajo vrtenje in premik- translacijo) v skladu z rotorji (predstavljajo vrtenje), ki pa se izvajajo nad običajnimi kompleksnimi števili (iz krožne grupe)

Sopomenke[uredi | uredi kodo]

Za hiperbolična števila se uporabljajo različna imena (sinonimi). Najbolj pogosta so

  • (realna) tesarina
  • (algebrajski) motor
  • hiperbolično kompleksno število
  • birealno število
  • hiperbolično število iz Muséjevih hiperštevil
  • dualno število
  • nenormalno kompleksno število
  • perpleksno število
  • Lorentzovo število
  • razcepljeno kompleksno število
  • prostorsko-časovno število
  • dvokompleksno število

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]