Hiperbolično število

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Del ravnine hiperboličnih števil s prikazanimi podmnožicami, ki imajo absolutno vrednost 0 (rdeče), 1 (modro) in -1 (zeleno).

Hiperbolično število (tudi kompleksno število hiperboličnega tipa ali razcepljeno kompleksno število) je v abstraktni algebri dvorazsežna komutativna algebra nad realnimi števili, ki se razlikujejo od kompleksnih števil. Vsako hiperbolično število lahko zapišemo v obliki

 x + yj \,

kjer je

 j^2 = 1 \, tako, da pri tem upoštevamo samo nerealne korene.

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Seštevanje je definirano kot

 (x +jy) + (u + jv) = (x + u) + j(y + v) \,

Množenje pa je definirano z

 (x + jy)( u + jv) = (xu + yv) + j(xv + yu) \,

Velja tudi zakon komutativnosti, asociativnosti in distributivnosti.

Konjugirano število[uredi | uredi kodo]

Podobno kot pri običajnih kompleksnih številih je tudi za hiperbolično števil  z = x +jy \, konjugirano število določeno kot

 z = x^*  - jy \,.

Konjugirana vrednost zadošča podobnim značilnostim kot običajna kompleksna števila:

 (z + w)^* = z^* + w^* \,
 (zw)^* = z^*w^* \,
 (z^*)^* = z \,

Velja pa tudi

 (zw)^* = |z||w| \,.

Geometrija[uredi | uredi kodo]

Množica točk  z \, za katere velja z : \lVert z \rVert = a^2\, je hiperbola za vse  {a} iz \mathbb{R}, ki so različni od nič. Hiperbola je sestavljena iz dveh vej, ki gresta skozi točki  (a, 0) in  (-a, 0) . Kadar je  a= 1 dobimo enotsko hiperbolo. Konjugirana hiperbola pa je določena z

\{ z : \lVert z \rVert = -a^2 \}

Matrična predstavitev[uredi | uredi kodo]

Hiperbolična števila se zelo lepo prikažejo tudi z matriko. Hiperbolično število  z = x + j.y = 1.x +j.y \, lahko prikažemo kot matriko

z \mapsto \begin{bmatrix}x & y \\ y & x\end{bmatrix}.,

ker je

1 \mapsto \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

in

j \mapsto \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}.

Eulerjeva formula, ki velja za hiperbolična kompleksna števila ima obliko:

\exp(j\theta) = \cosh(\theta) + j\sinh(\theta).\,.

Absolutna vrednost[uredi | uredi kodo]

Absolutna vrednost hiperboličnega kompleksnega števila  z = x + jy \, je enaka

 \vert z \vert = z.z^* = z^*.z = x^2 - y^2  \,.

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

Uporaba razcepljenih kompleksnih števil se je pričela že v letu 1848, ko je angleški odvetnik in matematik James Cockle (1819 – 1895) odkril tesarine. Angleški matematik in filozof William Kingdom Clifford (1845 - 1879) je uporabil razcepljena kompleksna števila za prikaz vsote spinov. Clifford je pričel z uporabo razcepljenih kompleksnih števil kot koeficientov v kvaternionski algebri, ki jih sedaj imenujemo razcepljeni bikvaternioni. Clifford jih je imenoval motorji (predstavljajo vrtenje in premik- translacijo) v skladu z rotorji (predstavljajo vrtenje), ki pa se izvajajo nad običajnimi kompleksnimi števili (iz krožne grupe)

Sopomenke[uredi | uredi kodo]

Za hiperbolična števila se uporabljajo različna imena (sinonimi). Najbolj pogosta so

  • (realna) tesarina
  • (algebrajski) motor
  • hiperbolično kompleksno število
  • birealno število
  • hiperbolično število iz Muséjevih hiperštevil
  • dualno število
  • nenormalno kompleksno število
  • perpleksno število
  • Lorentzovo število
  • razcepljeno kompleksno število
  • prostorsko-časovno število
  • dvokompleksno število

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]