Naravno število

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Narávno števílo je katerokoli število iz neskončne množice pozitivnih celih števil {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}. Naravno število služi za mero končnih množic. Z naravnimi števili se šteje ali pa razvršča. Označuje se jih z N ali z \N.

Na nekaterih področjih matematike (teorija množic, matematična logika in računalništvo) se včasih privzame, da je tudi 0 naravno število. Takšna množica se imenuje »množica naravnih števil z nič« in se jo označi z \N_{0}. Kadar je množica naravnih števil definirana na ta način, označujejo množico naravnih števil brez 0 tudi \N^{*}\, ali \N^{+}\, .

Formalna definicija[uredi | uredi kodo]

Čeprav tudi majhen otrok razume kaj se misli z naravnimi števili, njihova določitev ni enostavna. Peanovi aksiomi opišejo množico naravnih števil, ki se jo običajno označi z N ali z \N\, .

  • Obstaja naravno število 0.
  • Vsakemu naravnemu številu n sledi naravno število n + 1 (ali kot se tudi označi naslednik števila n je n' ).
  • Ne obstaja naravno število, kateremu sledi število 0 (ni naravnega števila -1').
  • Različnima naravnima številoma sledita različni naravni števili: če je n1n2, potem n1 + 1 ≠ n2 + 1 (ali n' 1n' 2).
  • Če neka značilnost P velja za število 0 in če iz P(n) sledi P(n+1) za vsak n, potem velja značilnost P za vsa naravna števila.

Zadnji aksiom zagotavlja veljavnost matematične indukcije pri dokazovanju.

S standardno konstrukcijo v teoriji množic preko Zermelo-Fraenkelovih aksiomov se določi vsako naravno število kot množico naravnih števil, manjšo od števila, tako, da so prva naravna ševila:

0 ≡ Ø = {} (prazna množica),
1 ≡ 0' = {0} = {Ø },
2 ≡ 1' = {0,1} = {0, {0}}, = {Ø, {Ø }},
3 ≡ 2' = {0,1,2} = = {0, {0}, {0, {0}} } = {Ø, {Ø, {Ø, {Ø }}}}

Množica 0 nima elementov, množica 1 ima en element, množica 2 dva, itd. Množica n je množica, ki ima n elementov 0,1,2,...,n-1 in hkrati je n podmnožica N in element N.

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Seštevanje naravnih števil se določi induktivno z zahtevama:

n1 + 0 ≡ n1 za vsak n1 \in N,
n1 + (n2 + 1) ≡ (n1 + n2) + 1 za vsak n1,n2 \in N.

Tako je množica naravnih števil (N, +) komutativni monoid z nevtralnim elementom 0 ali prosti monoid z enim generatorjem. Ta monoid se lahko vloži v grupo. Najmanjša grupa, ki vsebuje naravna števila je množica celih števil.

Podobno je množenje · določeno z zahtevama:

n1 · 0 ≡ 0 za vsak n1 \in N,
n1 · (n2 + 1) = (n1 · n2) + n1.

S tem je (N, ·) komutativni monoid z nevtralnim elementom 1. Seštevanje in množenje sta združljivi dvočleni aritmetični operaciji, izraženi z distributivnostjo:

n1 · (n2 + n3) = n1 · n2 + n1 · n3.

Množica naravnih števil je popolno urejena tako, da velja n1n2, samo tedaj kadar obstaja naravno število n3, za katero velja n1 + n3 = n2. Urejenost je združljiva z aritmetičnimi operacijami. Če so n1, n2 in n3 naravna števila in n1n2, potem velja:

n1 + n3n2 + n3 in
n1 · n3n2 · n3.

Pomembna značilnost naravnih števil je, da so dobro urejena. Vsaka množica naravnih števil ima najmanjši element.

Deljenje v splošnem v množici naravnih števil ni mogoče. To operacijo zamenja deljenje z ostankom: za poljubni dve naravni števili n1 in n2, kjer n2 ≠ 0, obstajata takšni naravni števili k in l2, da velja:

n1 = n2 · k + l     in     l < n2.

Število k se imenuje količnik (kvocient) in l ostanek ali delitev števila n1 z n2. Števili k in l sta enolično določeni s številoma n1 in n2.

Globlje značilnosti naravnih števil, kot je porazdelitev praštevil raziskuje teorija števil.

Posplošitve[uredi | uredi kodo]

Naravna števila se lahko uporabi za dva namena. Za opis lege elementa v urejenem zaporedju, kar je posplošeno s pojmom ordinalnega števila. In za določitev velikosti končne množice, kar je posplošeno s pojmom kardinalnega števila. V končnem pojma sovpadata: končna ordinalna števila so enaka N kot tudi končna kardinalna števila. V neskončnem pa se pojma razlikujeta.

Neskončni verižni ulomek[uredi | uredi kodo]

Konstanta neskončnega verižnega ulomka naravnih števil je:

 u_{n} = [0; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, \ldots] = 0,697774657964 \ldots \!\, , (OEIS A052119).

Vrednost tega verižnega ulomka je enaka razmerju neskončnih vrst:

  u_{n} = \frac{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{(n!)^{2}}}{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n!)^{2}}} = \frac{I_{1} (2)}{I_{0} (2)} = \frac{1,590636854637 \ldots}{2,279585302336 \ldots }\!\, ,

kjer sta I_{1} (2)\, in I_{0} (2)\, modificirani Besselovi funkciji prve vrste reda 1 in 0 (OEIS A096789 in A070910).

Glej tudi[uredi | uredi kodo]