Monoid

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search
Grupam podobne strukture
Zaprtaα Asociativnost Identiteta Invertibilnost Komutativnost
Polgrupoid Nepotrebno Zahtevano Nepotrebno Nepotrebno Nepotrebno
Mala kategorija Nepotrebno Zahtevano Zahtevano Nepotrebno Nepotrebno
Grupoid Nepotrebno Zahtevano Zahtevano Zahtevano Nepotrebno
Magma Zahtevano Nepotrebno Nepotrebno Nepotrebno Nepotrebno
Kvazigrupa Zahtevano Nepotrebno Nepotrebno Zahtevano Nepotrebno
Enotska magma Zahtevano Nepotrebno Zahtevano Nepotrebno Nepotrebno
Zanka Zahtevano Nepotrebno Zahtevano Zahtevano Nepotrebno
Polgrupa Zahtevano Zahtevano Nepotrebno Nepotrebno Nepotrebno
Inverzna polgrupa Zahtevano Zahtevano Nepotrebno Zahtevano Nepotrebno
Monoid Zahtevano Zahtevano Zahtevano Nepotrebno Nepotrebno
Komutativni monoid Zahtevano Zahtevano Zahtevano Nepotrebno Zahtevano
Grupa Zahtevano Zahtevano Zahtevano Zahtevano Nepotrebno
Abelova grupa Zahtevano Zahtevano Zahtevano Zahtevano Zahtevano
 Zaprtost, ki se uporablja v veliko virih, je ekvivalentni aksiom kot popolnost, četudi je definiran drugače.

Mónoid M = {a, b, ...} je v matematiki par (M, *), kjer je M neprazna množica in * asociativna dvočlena operacija na M, ki zadošča pogojem:

Drugače povedano, monoid je polgrupa z nevtralnim elementom (identiteto).

Zgledi monoidov[uredi | uredi kodo]

  • Katerakoli grupa.
  • Elementi vsakega enotskega kolobarja z operacijo množenja.
  • Množice naravnih števil N z operacijo seštevanja.
  • Množica končnih znakovnih nizov, s praznim znakovnim nizom ε ≡ "" čez poljubno določeno abecedo Σ z operacijo spojitve znakovnega niza. V teoretičnem računalništvu je takšen monoid označen z Σ*, v matematiki pa se imenuje »prosti monoid čez Σ«.
    • Na primer prosti idempotentni monoidi za abecedo Σ z n črkami so {1, 2, 7, 160, 332381, 2751884514766, 272622932796281408879065987, 3641839910835401567626683593436003894250931310990279692, ...} (OEIS A005345). Splošni člen takšnih monoidov je:
a(n) = Σ C(n,k) Π (k-i+1)2^i, (pri i = 1 ... k in k = 0 ... n).
  • Če izberemo poljuben objekt kategorije in imamo množico vseh morfizmov teh objektov vase z operacijo sestave (kompozicije) (glej teorijo kategorije). Primeri iz dobro znanih kategorij so:
    • Množica vseh zveznih enotnih kart topološkega prostora z operacijo sestave (kompozicije).
    • Množica vseh endomorfizmov določene grupe z operacijo sestave (kompozicije).
    • Množica vseh funkcij iz množice nanjo z operacijo sestave (kompozicije).

Neposredno iz določitve lahko pokažemo, da je nevtralni element e edin. Potem lahko določimo obrnljive elemente: element x se imenuje obrnljiv, če obstaja tak&šen element y, za katerega velja x * y = e in y * x = e. Pokaže se, da množica vseh obrnljivih elementov z operacijo * tvori grupo. V tem smislu vsak monoid vsebuje grupo.

Vsakega monoida pa ne moremo imeti za grupo. Lahko imamo, na primer, monoid v katerem obstajata tak&šna elementa a in b, za katera vela a * b = a, pa čeprav b ni nevtralni element. Takšnega monoida ne moremo vložiti v grupo, ker v grupi lahko množimo obe strani z obratnim elementom a in bi dobili b = e, kar pa ne drži. Monoid (M, *) ima lastnost razveljavitve (oziroma je razveljaviten), če za vse a, b in c M iz a * b = a * c vedno sledi b = c in iz b * a = c * a prav tako vedno sledi b = c. Komutativni monoid, ki je razveljaviten lahko vedno vložimo v grupo. Tako cela števila (grupa z operacijo +) pridelamo iz naravnih števil (komutativen monoid z operacijo + in lastnostjo razveljavitve). Nekomutativen razveljaviten monoid pa ni vložljiv v grupo.

Če je monoid razveljaviten in je končen, je v bistvu grupa.

Na kategorije lahko gledamo kot na posplošitve monoidov. Sestava (kompozicija) morfizma v kategoriji ima enake lastnosti kot monoid s tem, da vseh parov morfizmov ne moremo sestaviti. Tudi za kategorije lahko dokažemo veliko definicij in izrekov o monoidih.