Morfizem

Morfizem (včasih tudi homomorfizem) je v matematiki abstrakcija, ki jo dobimo iz preslikave, ki ohranja strukturo dveh matematičnih struktur

Definicija

Kategorije sestavljata dva razreda. Prvi razred so objekti, drugi pa morfizmi.

Nad vsakim morfizmom sta definirani dve operaciji: domena funkcije (izvor) in kodomena (cilj). Kadar ima morfizem $f\,$ domeno $X\,$ in kodomeno $Y\,$ , lahko zapišemo $f:X\to Y\,$ . S puščico smo označili smer od domene do kodomene.

Za vsake tri objekte $X,Y,Z\,$ med njimi obstoja binarna operacija tako, da velja

\operatorname {h} om(X,Y)\times \operatorname {h} om(Y,Z)\to \operatorname {h} om(X,Z)\,

. Imenuje se kompozitum. Kompozituma

f:X\to Y\,

in

g:Y\to Z\,

zapišemo kot

$g\circ f\,$ . Kompozitum morfizmov pogosto opišemo s pomočjo komutativnega diagrama.

Morfizem zadošča dvema aksiomoma.

identičnost: Za vsak objekt $X\,$ obstoja takšen morfizem $\operatorname {i} d_{X}:X\to X\,$ (imenujemo ga morfizem identitete) tako, da za vsaki morfizem $f:A\to B\,$ velja $\operatorname {i} d_{B}\circ f=f=f\circ \operatorname {i} d_{A}\,$ .
asociativnost: $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f\,$ .