Avtomorfizem
Avtomorfizem (iz grške besede starogrško αὐτός: autos - sam in starogrško μορφή: morfe - oblika) je izomorfizem iz matematičnega objekta v samega sebe. Na neki način je to simetrija objekta in način preslikave objekta v samega sebe tako, da pri tem ohrani vse značilnosti svoje strukture. Množica vseh avtomorfizmov nekega objekta tvori grupo, ki ima avtomorfizem grupe.
Avtomorfizem grupe
[uredi | uredi kodo]Kadar avtomorfizmi nekega objekta tvorijo množico, potem tvorijo grupo za kompozitum morfizmov. Rečemo, da ima takšna grupa avtomorfizem grupe za objekte .
Avtomorfizem grupe objekta iz kategorije označujemo z ali poenostavljeno .
Zgledi in značilnosti
[uredi | uredi kodo]- V teoriji množic je avtomorfizem množice poljubna permutacija elementov iz množice . Grupa izomorfizmov množice se imenuje tudi simetrična grupa elementov .
- V elementarni aritmetiki se množica celih števil (označujemo jo z ) obravnava kot grupa s seštevanjem, ki ima netrivialni avtomorfizem, ki ga imenujemo negacija. Če pa obravnavamo kolobar ima ta samo trivialni avtomorfizem. V splošnem je negacija avtomorfizem vsake Abelove grupe, ne pa kolobarja ali obsega.
- Avtomorfizem grupe je izomorfizem grupe iz grupe v samega sebe. To je permutacija elementov grupe tako, da ostane struktura nespremenjena.
- V linearni algebri je endomorfizem vektorskega prostora linearna preslikava . Avtomorfizem je obrnljivi linearni operator nad .
- Avtomorfizem obsega je bijektivni homomorfizem kolobarja iz obsega v samega sebe. V primeru racionalnih števil (Q) in [[realno število|realnih števil] (R) ni netrivialnih avtomorfizmov obsegov. Nekaj podobsegov iz R ima netrivialni izomorfizem obsega, ki pa se ne velja za vse elemente R. Pri kompleksnih številih C je enolični netrivialni avtomorfizem, ki vsakemu
R pripiše element v R. To je kompleksna konjugacija.
- V teoriji grafov je avtomorfizem grafa permutacija točk, ki ohranja povezave in nepovezave.
- V topologiji se morfizem med topološkimi prostori imenuje zvezna preslikava. Avtomorfizem topološkega prostora je homoemorfizem prostora v sebe.
- V Riemannovi geometriji je avtomorfizem sebi izometrija. Grupa avtomorfizmov se imenuje izometrijska grupa
- V kategoriji Riemannovih ploskev je avtomorfizem bijektivna biholomorfna preslikava iz ploskve na sebe.
Notranji in zunanji avtomorfizem
[uredi | uredi kodo]V nekaterih kategorijah kot so grupa, kolobarji in Liejeve algebre lahko ločimo avtomorfizme na "notranje" in "zunanje" avtomorfizme.
V primeru grup je notranji avtomorfizem konjugacija elementov grupe. Za vsak element grupe je konjugacija po je operacija , ki je dana z . Lahko se dokaže, da je konjugacija po grupni avtomorfizem. Notranji avtomorfizem tvori normalno podgrupo , ki jo označujemo z .
Vsi ostali avtomorfizmi se imenujejo zunanji avtomorfizmi. Grupa kvocientov (faktorska grupa) se pogosto označuje kot .
Glej tudi
[uredi | uredi kodo]Zunanje povezave
[uredi | uredi kodo]- Weisstein, Eric Wolfgang. »Automorphism«. MathWorld.
- Avtomorfizem Arhivirano 2012-03-22 na Wayback Machine. na PlanetMath (angleško)
- Grupa avtomorfizmov Arhivirano 2013-01-24 na Wayback Machine. (angleško)
- Grupa avtomorfizmov na MathWorld (angleško)
- Grupa avtomorfizmov Arhivirano 2009-02-26 na Wayback Machine. na PlanetMath (angleško)