Togi premik

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Za vrsto projekcije glej izometrična projekcija.

Tógi premík ali izometríja je v geometriji preslikava, ki ohranja razdalje med točkami. Torej mora za poljubni točki A in B, ki se preslikata v A' in B', veljati, da je razdalja med originaloma enaka kot razdalja med preslikanima točkama:

|AB|=|A'B'|\!\,

Izraz togi premik se uporablja zlasti v običajni evklidski geometriji, izraz izometrija pa je splošnejši in se uporablja tudi v neevklidskih geometrijah, pa tudi v splošnejših vektorskih prostorih.

Pomembna je povezava togih premikov s skladnostjo: Če lahko množico M1 s togim premikom preslikamo na množico M2, tako da se povsem prekrijeta, potem pravimo, da sta ti dve množici skladni:

M_1\cong M_2

Togi premiki v ravnini[uredi | uredi kodo]

V ravninski evklidski geometriji poznamo naslednje vrste togih premikov:

  • Vzporedni premik ali translacija: vse točke ravnine se premaknejo za enako razdaljo v isti smeri.
  • Zasuk ali rotacija: ravnino zasukamo za dani kot okoli dane točke (osi).
  • Zrcaljenje čez točko je enako zasuku za 180°.
  • Zrcaljenje čez premico.
  • Sestavljeni togi premik, npr.: kompozitum zrcaljenja in vzporednega premika.

Togi premiki v prostoru[uredi | uredi kodo]

V prostorski evklidski geometriji poznamo naslednje vrste togih premikov:

  • Vzporedni premik ali translacija: vse točke prostora se premaknejo za enako razdaljo v isti smeri.
  • Zasuk ali rotacija: prostor zasukamo za dani kot okoli dane premice (osi).
  • Zrcaljenje čez točko.
  • Zrcaljenje čez premico je enako zasuku za 180°.
  • Zrcajenje čez ravnino.
  • Sestavljeni togi premik, npr.: kompozitum zrcaljenja in vzporednega premika.

Izometrija vektorskih prostorov[uredi | uredi kodo]

Izometrija vektorskih prostorov je posplošitev zgoraj opisanega.

Imejmo vektorski prostor X opremljen z metriko dX in vektorski prostor Y opremljen z metriko dY. Izometrija prostorov X in Y je vsaka preslikava f: X\to Y\!\,, ki ohranja metriko - za poljubna elementa a in b iz X mora torej veljati

d_X(a,b)=d_Y(f(a),f(b))\!\,

Posledica ohranjanja metrike (razdalje) je dejstvo, da se različna elementa a in b ne moreta preslikati v isti element, zato je izometrija vedno injektivna preslikava.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]