Kategorija (matematika)

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Kategorija je v matematiki algebrska struktura, ki jo sestavlja zbirka objektov. Objekti so med seboj povezani tako, da za vsak objekt vemo, kateri je začetni in kateri končni. Te povezave lahko prikažemo ali obravnavamo tudi kot puščice.

Področje matematike, ki obravnava kategorije in preslikave med njimi, se imenuje teorija kategorij.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Kategorijo  C \, sestavljajo

  • razred, oznaka ob(C), objektov
  • razred morfizmov z oznako hom(C), imenujemo jih tudi puščice ali preslikave med objekti. Vsakemu morfizmu lahko pripišemo začetni  a \, in končni  b \, objekt v  ob(C) \,
  • za vsake tri objekte  a \,,  b \, in  c \, se binarna operacija  hom (a, b) \times hom (b, c) \to hom (a , c) \, imenuje kompozitum morfizmov. Kompozitum  f: a \to b \, in  g: b \to c \, se zapiše kot  g \circ f \,
tako, da velja
 h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f \, in
  • identiteta: za vsak objekt  x \, :obstoja morfizem  1_x: x \to x \,, ki ga imenujemo morfizem identitete za  x \, tako, da za vsak morfizem  f:a \to b \, velja  1_b \circ f = f = f \circ 1_a \,.

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Razred vseh množic z vsemi funkcijami med njimi, ki so običajne kompozicije funkcij tvorijo veliko kategorijo, ki jo označujemo s Set.

Pregled kategorij[uredi | uredi kodo]

kategorija objekt morfizem
Mag grupoidi grupoidni homorfizem
Manp gladke mnogoterosti p-krat zvezno diferenciabilne preslikave
Met metrični prostori kratke preslikave
R-Mod moduli R, kjer je R kolobar homorfizem modulov
Ring kolobarji homorfizem kolobarjev
Set množice funkcije
Top topološki prostori zvezne funkcije
Uni uniformni prostori uniformno zvezne funkcije
VectK vektorski prostori nad obsegom K K-linearne preslikave
Rel množica binarna relacija
Ab Abelova grupa morfizem grup
Grp grupe morfizem grup
Ord urejena množica monotona funkcija

Dualna kategorija[uredi | uredi kodo]

Kategorija  C \,, ki ima objekte enake kot prvotna kategorija in ima puščice obrnjene se imenuje dualna (nasprotna) kategorija. Označuje se z  C^{op}  \,

Produkt kategorij[uredi | uredi kodo]

Če imamo dve kategoriji  C \, in  D \,, lahko tvorimo produkt kategorij  C \times D \,. Objekti v tej nastali kategoriji so paroma sestavljeni iz po enega objekta iz kategorije  C \, in enega objekta iz kategorije  D \,. Morfizem nove kategorije je prav tako par sestavljen iz po enega morfizma kategorije  C \, in enega morfizma iz kategorije  D \,.

Mala kategorija[uredi | uredi kodo]

Kategorija  C \, se imenuje mala kategorija, če sta  ob(C) \, in  hom(C) \, množici in ne lastni množici (razred, ki ni množica).

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]