Linearna transformacija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Línearna transformácija (tudi línearni operátor) je značilna vrsta preslikave iz linearne algebre. Pomeni homomorfizem vektorskih prostorov.

Naj bosta V in U vektorska prostora nad obsegom O. Preslikava A: VU je linearna transformacija, če za vsak x in y iz V ter za vsak α iz O velja:

Linearna preslikava ohranja linearne kombinacije, zato se lahko zgornji lastnosti zapiše tudi kot

A(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n) = \alpha_1 Ax_1 + \alpha_2 Ax_2 + \cdots + \alpha_n Ax_n

Jedro in slika[uredi | uredi kodo]

Jedro in sliko linearne transformacije A: VU definiramo analogno kot pri homomorfizmih grup:

\ker(A)=\{\,x\in V:Ax=0\,\}
\operatorname{im}(A)=\{\,Ax:x\in V\,\}

Množica ker(A) je podprostor prostora V, im(A) pa podprostor prostora U.

Če V = U, pravimo, da je A endomorfizem. Množica End(V) vseh endomorfizmov iz V v V tvori asociativno algebro nad V z operacijami adicije, kompozicije in množenja s skalarji.

Vsi bijektivni endomorfizmi (avtomorfizmi) tvorijo grupo Aut(V) z operacijo kompozicije.