Linearna transformacija

Za realno funkcijo s podobnim imenom glej Linearna funkcija.

Línearna transformácija (tudi línearni operátor) je značilna vrsta preslikave iz linearne algebre. Pomeni homomorfizem vektorskih prostorov.

Naj bosta $V$ in $U$ vektorska prostora nad obsegom $O$. Preslikava $A:{V\rightarrow U}$ je linearna transformacija, če za vsak $x$ in $y$ iz $V$ ter za vsak $\alpha$ iz $O$ velja:

• aditivnost: $A(x+y)=Ax+Ay\!\,$
• homogenost: $A(\alpha x)=\alpha Ax\!\,$

Linearna preslikava ohranja linearne kombinacije, zato se lahko zgornji lastnosti zapiše tudi kot

$A(\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n})=\alpha _{1}Ax_{1}+\alpha _{2}Ax_{2}+\cdots +\alpha _{n}Ax_{n}$

Jedro in slika

Jedro in sliko linearne transformacije $A:{V\rightarrow U}$ definiramo analogno kot pri homomorfizmih grup:

$\ker(A)=\{\,x\in V:Ax=0\,\}$

$\operatorname {im} (A)=\{\,Ax:x\in V\,\}$

Množica $\ker(A)$ je podprostor prostora $V$, $\operatorname {im} (A)$ pa podprostor prostora $U$.

Če $V=U$, pravimo, da je $A$ endomorfizem. Množica $\operatorname {End} (V)$ vseh endomorfizmov iz $V$ v $V$ tvori asociativno algebro nad $V$ z operacijami adicije, kompozicije in množenja s skalarji.

Vsi bijektivni endomorfizmi (avtomorfizmi) tvorijo grupo $\operatorname {Aut} (V)$ z operacijo kompozicije.