Matematična struktura

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Matemátična struktúra je množica M skupaj z dodatnimi lastnostmi, preslikavami in operacijami, ki določajo odnose med elementi te množice.

Matematika preučuje različne strukture zato, ker v množicah z enako strukturo veljajo iste lastnosti. Če dokažemo, da je neka lastnost tipična za določeno strukturo, potem lahko sklepamo, da lastnost velja za vse množice, ki imajo tako strukturo.

Tak način gledanja se je razvil dokaj pozno. Prelomnico na tem področju predstavljajo Peanovi aksiomi za naravna števila. Giuseppe Peano je zajel celotno teorijo naravnih števil v pet aksiomov. Pokazal je, da se da iz teh aksiomov logično deducirati vse lastnosti naravnih števil, pri tem pa je najbolj presenetljivo spoznanje, da eksplicitna opredelitev pojma naravno število sploh ni potrebna. Aksiomi določajo strukturo, ne določajo pa same vsebine naravnega števila.

Po naziranju matematične skupine Bourbaki obstajajo trije tipi matematičnih struktur:

Strukture urejenosti[uredi | uredi kodo]

Strukturo urejenosti na množici določa relacija urejenosti.

Najbolj znana relecija urejenosti je urejenost števil po velikosti. Označimo jo z znaki <, ≤, > in ≥. Ena od tipičnih lastnosti te relacije je tranzitivnost:

(a<b \land b<c)\Rightarrow a<c

V množici naravnih oziroma celih števil lahko opazujemo tudi urejenost z relacijo deljivosti: a | b (beri a deli b oziroma a je delitelj števila b). Tudi za to relacijo velja tranzitivnost:

(a~|~b \land b~|~c)\Rightarrow a~|~c

Med podmnožicami dane univerzalne množice U lahko uvedemo relacijo urejenosti podmnožic: AB (beri A je podmnožica B). Zanimivo, da tudi v tem primeru velja tranzitivnost - to je torej skupna lastnost vseh treh navedenih struktur urejenosti:

(A\subset B \land B\subset C)\Rightarrow A\subset C

Algebrske strukture[uredi | uredi kodo]

Algebrska struktura je določena z računskimi operacijami v dani množici.

Značilni primer algebrske strukture je grupa. To je množica, v kateri je definirana računska operacija, ki je asociativna, ima nevtralni element in za vsak element ustrezni inverz. Te lastnosti so temeljne za celo vrsto različnih računskih operacij in zato predstavljajo osnovo drugih, bolj zapletenih algebrskih struktur kot so:

Topološke strukture[uredi | uredi kodo]

Topološka struktura v dani množici določa, kateri element je v okolici nekega drugega elementa. Okolice sestavljajo določen sestav podmnožic, ki jih imenujenmo odprte množice.

Če je v množici definirana metrika (razdalja), lahko definiramo okolico zelo preprosto: Element x je v okolici elementa a, če je razdalja med njima primerno majhna.

V množici realnih števil po tem pravilu definiramo okolico s polmerom ε okoli točke a kot interval (aε, a+ε).

Viri[uredi | uredi kodo]

  • Prijatelj, Niko (1972). Matematične strukture 3 (Knjižnica Sigma (št. 23) izd.). Ljubljana: Državna založba Slovenije. COBISS 11501573.