Funktor

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Funktor je v teoriji kategorij posebna vrsta preslikav med kategorijami. Funktorje si lahko predstavljamo kot homomorfizme med kategorijami oziroma kot morfizme v kategoriji majhnih kategorij.

Funktorje so najprej obravnavali v algebrski topologiji, kjer so algebrski objekti povezani v topološke prostore.

Izraz funktor je izposojen od v Nemčiji rojenega filozofa Rudolfa Carnapa (1891 – 1970), ki pa je izraz uporabljal v lingvističnem okolju.[1]

Definicija[uredi | uredi kodo]

Naj bosta in kategoriji. Funktor iz v je preslikava [2] ,zuje vsak morfizem z morfizmom tako, da veljata naslednji trditvi

    • za vsak objekt
    • za vse morfizme in .

To pa pomeni, da mora funktor ohranjati morfizem identičnosti in kompozitum morfizmov.

Kovariantnost in kontravariantnost[uredi | uredi kodo]

Običajne funktorje imenujemo kovariantni funktorji.

V matematiki je znanih več načinov izgrajevanja funktorjev za katere je značilno, da obrnejo morfizem ali pa obrnejo kompozitum. Te vrste funktorjev imenujemo kontravariantni funktorji. Če je funktor iz v kot preslikava za katero velja zuje vsak morfizem z morfizmom tako, da veljata naslednji trditvi

    • za vsak objekt
    • za vse morfizme in .

Kontravariantne funktorje imenujemo tudi kofunktorji.

Bifunktorji in multifunktorji[uredi | uredi kodo]

Bifunktorje imenujemo tudi binarne funktorje. To so funktorji dveh argumentov.

Multifunktorji so posplošitev pojma funktor na .

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Naštetih je nekaj zgledov funktorjev:

  • Konstantni funktor: Funktor, ki preslika () vsak objekt iz v fiksni objekt v .
  • Endofunktor je funktor, ki preslika kategorijo v sebe.
  • Identični funktor preslika objekt v sebe in morfizem v sebe.
  • Diagonalni funktor, ki je definiran kot funktor s preslikavo iz v funktorsko kategorijo , ki vsakemu objektu v priredi konstantni funktor temu objektu.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Carnap, The Logical Syntax of Language, p.13-14, 1937, Routledge & Kegan Paul
  2. ^ Jacobson (2009), stran 19, def. 1.2.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]